W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Rozwiąż nierówność z argumentem liczby zespolonej i wykonaj rysunek na płaszczyźnie zespolonej

\[0< \arg(z)< \frac{\pi}{4}\]

Rozwiązanie

Argument główny to kąt utworzony między dodatnią częścią osi rzeczywistej \(Re(z)\), a promieniem wodzącym liczby zespolonej \(z\), przy czym \(0\le \arg(z)< 2\pi\) (lub \(-\pi<\arg(z)\le \pi\)).

Dlatego liczby zespolone spełniające nasze nierówności leżą w obszarze ograniczonym przez dwie półproste wychodzące z początku układu współrzędnych i tworzące kąty 0 i  \(\frac{\pi}{4}\) z dodatnią częścią osi \(Re(z)\).

Nierówności są ostre, więc brzegi (czyli dwie dodatnie części półprostych o równaniach \(y=x\) i \(y=0\)) nie należą do zbioru rozwiązań i należy zaznaczyć je liniami przerywanymi:

nierownosc arg z mniejsze od pi przez 2

Wskazówki

Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej

Równanie z argumentem liczby zespolonej:

\[\arg(z)=\alpha,\,\,\,\alpha\in[0,2\pi)\]

wyznacza zbiór wszystkich liczb zespolonych leżących na półprostej wychodzącej z początku układu współrzędnych i tworzącej kąt \(\alpha\) z dodatnią częścią osi rzeczywistej \(Re(z)\).

Nierówność z argumentem liczby zespolonej:

\[\alpha<\arg(z)<\beta,\,\,\,\,\alpha,\,\beta\in[0,2\pi)\]

wyznacza zbiór wszystkich liczb zespolonych leżących w obszarze pomiędzy półprostymi wychodzącymi z początku układu współrzędnych i tworzących kąty \(\alpha\) i \(\beta\) z dodatnią częścią osi rzeczywistej \(Re(z)\).

 

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    @Zubru22 Błąd poprawiony, dziękuję za komentarz.
  • Zubru22
    W pierwszym zdaniu rozwiązania jest błąd, "częśćią" a powinno być "częścią" :)