W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Liczby zespolone - zadania z rozwiązaniami

Znajdź wszystkie liczby zespolone \(z\) spełniające równanie

\[z^2=i\]

Rozwiązanie

Równanie to można rozwiązać na kilka różnych sposobów.

Sposób 1: Rozwiązanie przez wykorzystanie postaci algebraicznej i równości liczb zespolonych

Skorzystajmy z postaci algebraicznej liczby zespolonej \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), z definicji jednostki urojonej \(i^2=-1\) oraz ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), wtedy nasze równanie możemy zapisać następująco:\[(x+yi)^2=i\]\[x^2+2xyi+(yi)^2=i\]\[x^2+2xyi+y^2\cdot i^2=i\]\[x^2+2xyi+y^2\cdot (-1)=i\]\[x^2+2xyi-y^2=i\]

Porównujemy części rzeczywiste i urojone obu stron równania:

\[\left\{\begin{array}{l}Re(x^2+2xyi-y^2)=Re(i)\\Im(x^2+2xyi-y^2)=Im(i)\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2=0\\2xy=1\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}(x-y)(x+y)=0\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\]

stąd mamy:

\[\left\{\begin{array}{l}x=y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,lub\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\]

\[\left\{\begin{array}{l}x=y\\x^2=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,lub\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-y\\x^2=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\]

Zauważmy, że drugi układ równań jest sprzeczny, ponieważ założyliśmy, że \(x\in\mathbb{R}\), a więc nie istnieje liczba rzeczywista, która po podniesieniu do kwadratu jest ujemna. Z pierwszego układu równań mamy:

\[\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\,\,\,\,lub\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\]Ostatecznie liczby spełniające równanie \(z^2=i\) są postaci:\[z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\,\,\,\,lub\,\,\,\,z=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\]

Sposób 2: Przez obliczenie pierwiastków z liczby zespolonej

Z definicji pierwiastka zespolonego wynika, że liczby \(z\) spełniające równanie \(z^2=i\) są pierwiastkami kwadratowymi (2-go stopnia) z liczby \(i\):\[z^2=i\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,z\in\sqrt{i}\]Liczymy więc pierwiastki zespolone z jednostki urojonej, możemy skorzystać ze wzorów na pierwiastki:\[z_k=\sqrt{|i|}\left(\cos\left(\frac{\arg(i)+2k\pi}{2}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\arg(i)+2k\pi}{2}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=0\,\,lub\,\,1\]Moduł jednostki urojonej jest równy 1, \(|i|=1\), natomiast argument jest równy \(\frac{\pi}{2}\), \(\arg(i)=\frac{\pi}{2}\), stąd\[z_0=\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+0}{2}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+0}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\]

\[z_1=\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\]

Ostatecznie rozwiązaniami równania \(z^2=i\) są liczby \(z\) należące do zbioru pierwiastków:\[\sqrt{i}=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right\}\]

Więcej przykładów liczenia pierwiastków z liczb zespolonych znajdziesz tutaj.

Sposób 3: Przez zastosowanie wzorów na pierwiastki równania kwadratowego

Zapiszmy nasze równanie w innej postaci (przenosimy jednostkę urojoną na lewą stronę oraz pamiętamy, żeby zmienić znak na przeciwny)\[z^2-i=0\]

Powyższe równanie możemy potraktować jak równanie kwadratowe o współczynnikach zespolonych \(az^2+bz+c=0\), gdzie \(a=1,b=0,c=-i\).

Teraz możemy obliczyć deltę tak jak dla zwykłego równania kwadratowego:\[\Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot (-i)=4i\]Liczymy pierwiastki z delty\[\sqrt{\Delta}=\sqrt{4i}=2\sqrt{i}=\left\{\sqrt{2}+\sqrt{2}i,-\sqrt{2}-\sqrt{2}i\right\}\]poniważ\[\sqrt{i}=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right\}\](zobacz jak obliczyć pierwiastek z jednostki urojonej)

Na koniec korzystamy ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego przyjmując, że \(\sqrt{\Delta}\) jest równa któremuś z pierwiastków, np. \(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\):\[z=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\]lub\[z=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0+\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\]

 

Wskazówki oraz przydatne wzory i własności

Kiedy dwie liczby zespolone są sobie równe?

Dwie liczby zespolone \(z_1=x_1+y_1i,\,\,z_2=x_2+y_2i\) są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe:

\[z_1=z_2\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{l}Re(z_1)=x_1=x_2=Re(z_2)\\Im(z_1)=y_1=y_2=Im(z_2)\end{array}\right.\]

Wzór na pierwiastki zespolone

Każdy z pierwiastków n-tego stopnia liczby zespolonej \(z\) możemy obliczyć ze wzoru:

\[z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=0,1,\ldots,n-1\]gdzie \(|z|\) to moduł, natomiast \(\alpha\) to argument liczby \(z\).

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    @Piotrus Dziękuję za słuszną uwagę, zmodyfikowałem ten fragment rozwiązania.
  • Piotrus
    W sposobie 1 jest pod koniec mały błąd.
    W trzecim wzorze od końca, jeżeli:\[x=-y\]to\[x^2=xy=-\frac{1}{2}\]a nie\[x^2=\frac{1}{2}\]
    Ponieważ \(x,y\) są rzeczywiste, dlatego nie ma wtedy rozwiązania.
    Dwa rozwiązania otrzymuje się z równań z pierwszej klamry, gdyż jeżeli \(x^2=\frac{1}{2}\), to \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Jesteś w kategorii Liczby zespolone zadania z rozwiązaniami

Znajdziesz tutaj przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku z zakresu liczb zespolonych. Działy tematyczne obejmują najprostsze zagadnienia, takie jak działania na liczbach zespolonych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie), metody obliczania modułu i argumentu zespolonego oraz bardziej skompliowane zagadnienia, takie jak potęgowanie liczb zespolonych (wzór de Moivre'a), równania zespolone, metody obliczania pierwiastków zespolonych oraz rysowanie zbiorów na płaszczyźnie zespolonej. Zadania najczęścieij uporządkowane są pod względem rosnącego poziomu trudności.

Na stronie obliczone.pl będziesz uczyć się liczb zespolonych na przykładach, co pozwoli Ci opanować materiał dużo szybciej i efektywniej. Wystarczy pracować systematycznie i starać się przeanalizować ze zrozumieniem jak najwięcej zadań. W przypadku, gdy będziesz mieć problem ze zrozumieniem jakiegoś fragmentu rozwiązania zachęcam do zadawania pytań w komentarzu pod zadaniem. Nawet najbanalniejsze pytanie nie pozostanie bez odpowiedzi. Na koniec nie pozostaje mi nic innego jak tylko życzyć Ci udanej nauki liczb zespolonych i sukcesu na kolokwium, czy też egzaminie. Powodzenia!