W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Znajdź wszystkie liczby zespolone \(z\) spełniające równanie

\[z^2=i\]

Rozwiązanie

Równanie to można rozwiązać na kilka różnych sposobów.

Sposób 1: Rozwiązanie przez wykorzystanie postaci algebraicznej i równości liczb zespolonych

Skorzystajmy z postaci algebraicznej liczby zespolonej \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), z definicji jednostki urojonej \(i^2=-1\) oraz ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), wtedy nasze równanie możemy zapisać następująco:\[(x+yi)^2=i\]\[x^2+2xyi+(yi)^2=i\]\[x^2+2xyi+y^2\cdot i^2=i\]\[x^2+2xyi+y^2\cdot (-1)=i\]\[x^2+2xyi-y^2=i\]

Porównujemy części rzeczywiste i urojone obu stron równania:

\[\left\{\begin{array}{l}Re(x^2+2xyi-y^2)=Re(i)\\Im(x^2+2xyi-y^2)=Im(i)\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2=0\\2xy=1\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}(x-y)(x+y)=0\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\]

stąd mamy:

\[\left\{\begin{array}{l}x=y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,lub\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\]

\[\left\{\begin{array}{l}x=y\\x^2=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,lub\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-y\\x^2=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\]

Zauważmy, że drugi układ równań jest sprzeczny, ponieważ założyliśmy, że \(x\in\mathbb{R}\), a więc nie istnieje liczba rzeczywista, która po podniesieniu do kwadratu jest ujemna. Z pierwszego układu równań mamy:

\[\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\,\,\,\,lub\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\]Ostatecznie liczby spełniające równanie \(z^2=i\) są postaci:\[z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\,\,\,\,lub\,\,\,\,z=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\]

Sposób 2: Przez obliczenie pierwiastków z liczby zespolonej

Z definicji pierwiastka zespolonego wynika, że liczby \(z\) spełniające równanie \(z^2=i\) są pierwiastkami kwadratowymi (2-go stopnia) z liczby \(i\):\[z^2=i\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,z\in\sqrt{i}\]Liczymy więc pierwiastki zespolone z jednostki urojonej, możemy skorzystać ze wzorów na pierwiastki:\[z_k=\sqrt{|i|}\left(\cos\left(\frac{\arg(i)+2k\pi}{2}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\arg(i)+2k\pi}{2}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=0\,\,lub\,\,1\]Moduł jednostki urojonej jest równy 1, \(|i|=1\), natomiast argument jest równy \(\frac{\pi}{2}\), \(\arg(i)=\frac{\pi}{2}\), stąd\[z_0=\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+0}{2}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+0}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\]

\[z_1=\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\]

Ostatecznie rozwiązaniami równania \(z^2=i\) są liczby \(z\) należące do zbioru pierwiastków:\[\sqrt{i}=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right\}\]

Więcej przykładów liczenia pierwiastków z liczb zespolonych znajdziesz tutaj.

Sposób 3: Przez zastosowanie wzorów na pierwiastki równania kwadratowego

Zapiszmy nasze równanie w innej postaci (przenosimy jednostkę urojoną na lewą stronę oraz pamiętamy, żeby zmienić znak na przeciwny)\[z^2-i=0\]

Powyższe równanie możemy potraktować jak równanie kwadratowe o współczynnikach zespolonych \(az^2+bz+c=0\), gdzie \(a=1,b=0,c=-i\).

Teraz możemy obliczyć deltę tak jak dla zwykłego równania kwadratowego:\[\Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot (-i)=4i\]Liczymy pierwiastki z delty\[\sqrt{\Delta}=\sqrt{4i}=2\sqrt{i}=\left\{\sqrt{2}+\sqrt{2}i,-\sqrt{2}-\sqrt{2}i\right\}\]poniważ\[\sqrt{i}=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right\}\](zobacz jak obliczyć pierwiastek z jednostki urojonej)

Na koniec korzystamy ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego przyjmując, że \(\sqrt{\Delta}\) jest równa któremuś z pierwiastków, np. \(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\):\[z=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\]lub\[z=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0+\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\]

 

Wskazówki oraz przydatne wzory i własności

Kiedy dwie liczby zespolone są sobie równe?

Dwie liczby zespolone \(z_1=x_1+y_1i,\,\,z_2=x_2+y_2i\) są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe:

\[z_1=z_2\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{l}Re(z_1)=x_1=x_2=Re(z_2)\\Im(z_1)=y_1=y_2=Im(z_2)\end{array}\right.\]

Wzór na pierwiastki zespolone

Każdy z pierwiastków n-tego stopnia liczby zespolonej \(z\) możemy obliczyć ze wzoru:

\[z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=0,1,\ldots,n-1\]gdzie \(|z|\) to moduł, natomiast \(\alpha\) to argument liczby \(z\).

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    @Piotrus Dziękuję za słuszną uwagę, zmodyfikowałem ten fragment rozwiązania.
  • Piotrus
    W sposobie 1 jest pod koniec mały błąd.
    W trzecim wzorze od końca, jeżeli:\[x=-y\]to\[x^2=xy=-\frac{1}{2}\]a nie\[x^2=\frac{1}{2}\]
    Ponieważ \(x,y\) są rzeczywiste, dlatego nie ma wtedy rozwiązania.
    Dwa rozwiązania otrzymuje się z równań z pierwszej klamry, gdyż jeżeli \(x^2=\frac{1}{2}\), to \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).