W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Liczby zespolone - zadania z rozwiązaniami

Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej

Postać trygonometryczna liczby zespolonej, zad. 3

Rozwiązanie

Postać trygonometryczna liczby zespolonej, zad. 3 - rozwiązanie

Wskazówki

Postać trygonometryczna liczby zespolonej \(z\)

Każdą liczbę zespoloną można zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej:

\[z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\]

gdzie \(|z|\) to moduł liczby zespolonej \(z\), \(\alpha=\arg(z)\) to argument główny liczby \(z\) (kąt należący do przedziału \([0,2\pi)\)).

Moduł liczby zespolonej \(z=x+yi\)

liczymy ze wzoru

\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)

Moduł liczby zespolonej \(z\) interpretuje się jako odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.

Argument główny liczby zespolonej \(z\)

to kąt należący do przedziału \([0,2\pi)\) utworzony pomiędzy dodatnią częścią osi rzeczywistej (\(Re(z)\)), a promieniem wodzącym liczby \(z\).

Niech \(z=x+yi\) oraz \(\arg(z)=\alpha\), wtedy

\[\sin \alpha=\frac{y}{|z|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\]

\[\cos \alpha=\frac{x}{|z|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]

Zwykle spotkasz się z założeniem: \(0\le \arg(z)<2\pi\), jednak możesz spotkać się też z warunkiem: \(-\pi< \arg(z)\le \pi\) (oba założenia są równoważne).

Metody wyznaczania argumentu głównego

  1. metoda graficzna - zaznaczamy liczbę zespoloną na płaszczyźnie zespolonej (liczbie \(z=x+yi\) odpowiada punkt o współrzędnych (x,y)) i "na oko" wyznaczamy kąt jaki jest utworzony między dodatnią częścią osi rzeczywistej, a promieniem wodzącym liczby zespolonej
  2. z układu równań (\(z=x+yi\) - dane, \(\alpha\) - szukane):
    \[\sin \alpha=\frac{y}{|z|},\,\,\,\cos \alpha=\frac{x}{|z|}\]
  3. z arcusa tangensa (tylko, gdy \(x>0,\,y>0\)):
    \[\arg(z)=arctg\left(\frac{y}{x}\right),\,\,x>0,\,\,y>0\]

Zwykle stosuje się metodę graficzną (to podstawa!) plus jedna z metod 2 lub 3.

Szybki sposób wyznaczania argumentu:

1 określ, w której ćwiartce płaszczyzny zespolonej leży argument (aby to zrobić wystarczy zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie i zobaczyć w której ćwiartce się znajduje)
2. wyznacz wartość takiego kąta \(\alpha\) leżącego w ćwiartce wyznaczonej w pkt 1, którego sinus jest równy \(\frac{y}{|z|}\) lub cosinus jest równy \(\frac{x}{|z|}\). Wystarczy obliczyć tylko wartość sinusa lub tylko wartość cosinusa, nie trzeba liczyć obu.

Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\).
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w I ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[0\le \arg(z)\le \frac{\pi}{2}\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w II ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{\pi}{2}\le \arg(z)\le \pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w III ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\le 0\)), to: \[\pi\le \arg(z)\le \frac{3}{2}\pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{3}{2}\pi\le \arg(z)\le 2\pi\]

Bardzo ważna w tego typu zadaniach jest znajomość funkcji trygonometrycznych, szczególnie wartości sinusa i cosinusa podstawowych kątów (warto nauczyć się na pamięć!):

Sinus i cosinus dla podstawowych wartości kątów

Komentarzy (0)


    Jesteś w kategorii Liczby zespolone zadania z rozwiązaniami

    Znajdziesz tutaj przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku z zakresu liczb zespolonych. Działy tematyczne obejmują najprostsze zagadnienia, takie jak działania na liczbach zespolonych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie), metody obliczania modułu i argumentu zespolonego oraz bardziej skompliowane zagadnienia, takie jak potęgowanie liczb zespolonych (wzór de Moivre'a), równania zespolone, metody obliczania pierwiastków zespolonych oraz rysowanie zbiorów na płaszczyźnie zespolonej. Zadania najczęścieij uporządkowane są pod względem rosnącego poziomu trudności.

    Na stronie obliczone.pl będziesz uczyć się liczb zespolonych na przykładach, co pozwoli Ci opanować materiał dużo szybciej i efektywniej. Wystarczy pracować systematycznie i starać się przeanalizować ze zrozumieniem jak najwięcej zadań. W przypadku, gdy będziesz mieć problem ze zrozumieniem jakiegoś fragmentu rozwiązania zachęcam do zadawania pytań w komentarzu pod zadaniem. Nawet najbanalniejsze pytanie nie pozostanie bez odpowiedzi. Na koniec nie pozostaje mi nic innego jak tylko życzyć Ci udanej nauki liczb zespolonych i sukcesu na kolokwium, czy też egzaminie. Powodzenia!