W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej

Postać trygonometryczna liczby zespolonej, zad. 3

Rozwiązanie

Postać trygonometryczna liczby zespolonej, zad. 3 - rozwiązanie

Wskazówki

Postać trygonometryczna liczby zespolonej \(z\)

Każdą liczbę zespoloną można zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej:

\[z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\]

gdzie \(|z|\) to moduł liczby zespolonej \(z\), \(\alpha=\arg(z)\) to argument główny liczby \(z\) (kąt należący do przedziału \([0,2\pi)\)).

Moduł liczby zespolonej \(z=x+yi\)

liczymy ze wzoru

\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)

Moduł liczby zespolonej \(z\) interpretuje się jako odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.

Argument główny liczby zespolonej \(z\)

to kąt należący do przedziału \([0,2\pi)\) utworzony pomiędzy dodatnią częścią osi rzeczywistej (\(Re(z)\)), a promieniem wodzącym liczby \(z\).

Niech \(z=x+yi\) oraz \(\arg(z)=\alpha\), wtedy

\[\sin \alpha=\frac{y}{|z|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\]

\[\cos \alpha=\frac{x}{|z|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]

Zwykle spotkasz się z założeniem: \(0\le \arg(z)<2\pi\), jednak możesz spotkać się też z warunkiem: \(-\pi< \arg(z)\le \pi\) (oba założenia są równoważne).

Metody wyznaczania argumentu głównego

  1. metoda graficzna - zaznaczamy liczbę zespoloną na płaszczyźnie zespolonej (liczbie \(z=x+yi\) odpowiada punkt o współrzędnych (x,y)) i "na oko" wyznaczamy kąt jaki jest utworzony między dodatnią częścią osi rzeczywistej, a promieniem wodzącym liczby zespolonej
  2. z układu równań (\(z=x+yi\) - dane, \(\alpha\) - szukane):
    \[\sin \alpha=\frac{y}{|z|},\,\,\,\cos \alpha=\frac{x}{|z|}\]
  3. z arcusa tangensa (tylko, gdy \(x>0,\,y>0\)):
    \[\arg(z)=arctg\left(\frac{y}{x}\right),\,\,x>0,\,\,y>0\]

Zwykle stosuje się metodę graficzną (to podstawa!) plus jedna z metod 2 lub 3.

Szybki sposób wyznaczania argumentu:

1 określ, w której ćwiartce płaszczyzny zespolonej leży argument (aby to zrobić wystarczy zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie i zobaczyć w której ćwiartce się znajduje)
2. wyznacz wartość takiego kąta \(\alpha\) leżącego w ćwiartce wyznaczonej w pkt 1, którego sinus jest równy \(\frac{y}{|z|}\) lub cosinus jest równy \(\frac{x}{|z|}\). Wystarczy obliczyć tylko wartość sinusa lub tylko wartość cosinusa, nie trzeba liczyć obu.

Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\).
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w I ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[0\le \arg(z)\le \frac{\pi}{2}\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w II ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{\pi}{2}\le \arg(z)\le \pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w III ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\le 0\)), to: \[\pi\le \arg(z)\le \frac{3}{2}\pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{3}{2}\pi\le \arg(z)\le 2\pi\]

Bardzo ważna w tego typu zadaniach jest znajomość funkcji trygonometrycznych, szczególnie wartości sinusa i cosinusa podstawowych kątów (warto nauczyć się na pamięć!):

Sinus i cosinus dla podstawowych wartości kątów

Komentarzy (0)