W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Liczby zespolone - zadania z rozwiązaniami

Wykonaj potęgowanie jednostki urojonej

Działania na liczbach zespolonych, zad. 11

Rozwiązanie

Działania na liczbach zespolonych, zad. 11 - rozwiązanie

UWAGI

Jednostka urojona to formalnie rzecz biorąc jeden z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych spełniających warunek \(i^2=-1\), drugim elementem jest liczba \(-i\), ponieważ \((-i)^2=(-1)^2\cdot i^2=-1\).

Często możesz spotkać się z zapisem

\[i=\sqrt{-1}\]

który choć nieformalny jest akceptowany. We wszelkich obliczeniach zalecam jednak stosowanie "prawdziwej" definicji jednostki urojonej, tj.:

Jednostką urojoną nazywamy liczbę \(i\), taką, że \[i^2=-1\]

Do czego może prowadzić stosowanie "nieformalnej" definicji jednostki urojonej \(i=\sqrt{-1}\)?

Oto przykłady sprzeczności jakie możemy otrzymać stosując zapis \(i=\sqrt{-1}\):

\[-1=i^2=i\cdot i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1\]

\[\frac{1}{i}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{-1}=i\]

WNIOSEK: Przy rozwiązywaniu zadań nie zamieniaj symbolu \(i\) na \(\sqrt{-1}\), jeśli jest "i" to niech tak zostanie, ale jeśli masz \(i^2\), \(i^3\) itp. to już spokojnie możesz zastosować definicję i napisać \(i^2=-1\) lub \(i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i\).

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    Dziękuję za sugestię. Zadanie rozwiązałem i wrzuciłem już na stronę;-)
  • Włodzimierz M
    Szkoda, że nie macie wśród rozwiązań wyniku potęgowania: " liczba urojona "i" do potęgi "i" "

Jesteś w kategorii Liczby zespolone zadania z rozwiązaniami

Znajdziesz tutaj przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku z zakresu liczb zespolonych. Działy tematyczne obejmują najprostsze zagadnienia, takie jak działania na liczbach zespolonych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie), metody obliczania modułu i argumentu zespolonego oraz bardziej skompliowane zagadnienia, takie jak potęgowanie liczb zespolonych (wzór de Moivre'a), równania zespolone, metody obliczania pierwiastków zespolonych oraz rysowanie zbiorów na płaszczyźnie zespolonej. Zadania najczęścieij uporządkowane są pod względem rosnącego poziomu trudności.

Na stronie obliczone.pl będziesz uczyć się liczb zespolonych na przykładach, co pozwoli Ci opanować materiał dużo szybciej i efektywniej. Wystarczy pracować systematycznie i starać się przeanalizować ze zrozumieniem jak najwięcej zadań. W przypadku, gdy będziesz mieć problem ze zrozumieniem jakiegoś fragmentu rozwiązania zachęcam do zadawania pytań w komentarzu pod zadaniem. Nawet najbanalniejsze pytanie nie pozostanie bez odpowiedzi. Na koniec nie pozostaje mi nic innego jak tylko życzyć Ci udanej nauki liczb zespolonych i sukcesu na kolokwium, czy też egzaminie. Powodzenia!