W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wykonaj potęgowanie

\[(1-i)^3\]

Rozwiązanie

Skorzystamy z własności potęg, ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz z definicji jednostki urojonej \(i^2=-1\):

\[(1-i)^3=(1-i)^{2+1}=(1-i)^2(1-i)=\big(1^2+2\cdot 1\cdot (-i)+(-i)^2\big)(1-i)=\]\[=(1-2i-1)(1-i)=(-2i)(1-i)=-2i\cdot 1+(-2i)\cdot (-i)=\]\[=-2i+2i^2=-2i-2=-2-2i\]

 

Wskazówki i teoria

W rozwiązaniu korzystamy z następującej własności potęgowania:

\[a^{n+m}=a^n\cdot a^m\]

Postać algebraiczna i jednostka urojona

\(i\) jest tzw. jednostką urojoną, czyli liczbą, która po podniesieniu do kwadratu daje \(-1\):

\[i^2=-1\]

Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci algebraicznej:

\[z=x+yi\]

gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) (są liczbami rzeczywistymi).

Działania na liczbach zespolonych

Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to

\[z_1+ z_2=(x_1+y_1i)+ (x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\](schemat dodawania liczb zespolonych)

\[z_1- z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i\](schemat odejmowania)

\[z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i)\cdot (x_2+y_2i)=x_1 x_2+x_1 y_2 i+y_1x_2 i+y_1 y_2 i^2=\]

\[=x_1 x_2-y_1 y_2+(x_1 y_2+ y_1 x_2)i\](schemat mnożenia liczb zespolonych)

 

Kliknij, jeśli chcesz nauczyć się podstaw liczb zespolonych

 

Komentarzy (0)