Start 
Wykonaj potęgowanie
\[(1-i)^3\]
Rozwiązanie
Skorzystamy z własności potęg, ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz z definicji jednostki urojonej \(i^2=-1\):
\[(1-i)^3=(1-i)^{2+1}=(1-i)^2(1-i)=\big(1^2+2\cdot 1\cdot (-i)+(-i)^2\big)(1-i)=\]\[=(1-2i-1)(1-i)=(-2i)(1-i)=-2i\cdot 1+(-2i)\cdot (-i)=\]\[=-2i+2i^2=-2i-2=-2-2i\]
Wskazówki i teoria
W rozwiązaniu korzystamy z następującej własności potęgowania:
\[a^{n+m}=a^n\cdot a^m\]
Postać algebraiczna i jednostka urojona
\(i\) jest tzw. jednostką urojoną, czyli liczbą, która po podniesieniu do kwadratu daje \(-1\):
\[i^2=-1\]
Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci algebraicznej:
\[z=x+yi\]
gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) (są liczbami rzeczywistymi).
Działania na liczbach zespolonych
Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to
\[z_1+ z_2=(x_1+y_1i)+ (x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\](schemat dodawania liczb zespolonych)
\[z_1- z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i\](schemat odejmowania)
\[z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i)\cdot (x_2+y_2i)=x_1 x_2+x_1 y_2 i+y_1x_2 i+y_1 y_2 i^2=\]
\[=x_1 x_2-y_1 y_2+(x_1 y_2+ y_1 x_2)i\](schemat mnożenia liczb zespolonych)
Kliknij, jeśli chcesz nauczyć się podstaw liczb zespolonych
Komentarzy (0)