W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz potęgę liczby zespolonej

\[(1+i)^8\]

Rozwiązanie

Są conajmniej dwa sposoby na rozwiązanie tego zadania:

Sposób I

Korzystając z własności potęg, wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz z definicji jednostki urojonej \(i^2=-1\), mamy:

\[(1+i)^8=\big((1+i)^2\big)^4=(1^2+2i+i^2)^4=(1+2i-1)^4=\]\[=(2i)^4=2^4\cdot i^4=16\cdot (i^2)^2=16\cdot (-1)^2=16\cdot 1=16\]

Sposób II

Skorzystamy ze wzoru de Moivre'a. W tym celu liczymy moduł i argument liczby \(1+i\):

\[|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\]

\[\arg(1+i)=\frac{\pi}{4}\]

ponieważ liczba \(1+i\) leży na dodatniej części prostej \(y=x\) (lub jak kto woli \(Im(z)=Re(z)\)), która jest nachylona do dodatniej części osi \(Re z\) pod kątem 45 stopni, czyli \(\frac{\pi}{4}\).

Ze wzoru de Moivre'a mamy:

\[(1+i)^8=(\sqrt{2})^8\cdot \left(\cos\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)=\]\[=2^4\cdot \left(\cos\left(2\pi\right)+i\sin\left(2\pi\right)\right)=16\cdot (1+0)=16\]

 

Wskazówki i teoria

Moduł liczby zespolonej \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) oznaczamy symbolem \(|z|\) i liczymy ze wzoru:

\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]

Szybki sposób wyznaczania argumentu liczby zespolonej

1 określ, w której ćwiartce płaszczyzny zespolonej leży argument (aby to zrobić wystarczy zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie i zobaczyć w której ćwiartce się znajduje)
2. wyznacz wartość takiego kąta \(\alpha\) leżącego w ćwiartce wyznaczonej w pkt 1, którego sinus jest równy \(\frac{y}{|z|}\) lub cosinus jest równy \(\frac{x}{|z|}\). Wystarczy obliczyć tylko wartość sinusa lub tylko wartość cosinusa, nie trzeba liczyć obu.

Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\).
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w I ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[0\le \arg(z)\le \frac{\pi}{2}\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w II ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{\pi}{2}\le \arg(z)\le \pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w III ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\le 0\)), to: \[\pi\le \arg(z)\le \frac{3}{2}\pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\le 0\)), to: \[\frac{3}{2}\pi\le \arg(z)\le 2\pi\]

Zapamiętaj wartości sinusa i cosinusa podstawowych kątów:

Sinus i cosinus dla podstawowych wartości kątów

Wzór de Moivre'a i potęgowanie liczb zespolonych

Jeżeli \(z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\) oraz \(n\in\mathbb{N}\), to

\[z^n=|z|^n(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha)^n=|z|^n\big(\cos (n\alpha) +i\cdot \sin (n\alpha)\big)\]

Zapamiętaj schemat potęgowania liczb zespolonych

1. Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej, w tym celu oblicz jej moduł i argument
2. Zastosuj wzór de Moivre'a
3. Przejdź z powrotem na postać algebraiczną, w tym celu oblicz wartości cosinusa i sinusa

 

Komentarzy (4)

  • Sebastian Orzeł
    @Zubru22 Nie ma za co, nie ma głupich pytań, więc proszę się nie przejmować. Na tej stronie każde pytanie znajdzie swoją odpowiedź :-) Pozdrawiam
  • Zubru22
    Przepraszam najmocniej, źle rozumiałem wzór i po zadaniu pytania do siebie samego na głos zrozumiałem, że i tam nie występuje. Dziękuje bardzo. :)
  • Sebastian Orzeł
    @Zubru22 Czy może Pan napisać dokładniej, w którym momencie "i do kwadratu jest równe +1"? Jeśli chodzi o moduł liczby zespolonej \(|1+i|\), to pod pierwiastkiem "i" nie występuje (część urojona liczby 1+i jest równa 1):
    \[|1+i|=\sqrt{(Re(1+i))^2+(Im(1+i))^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\]
  • Zubru22
    Dlaczego w drugim sposobie i do kwadratu jest równe +1?