W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wykonaj potęgowanie jednostki urojonej

Działania na liczbach zespolonych, zad. 11

Rozwiązanie

Działania na liczbach zespolonych, zad. 11 - rozwiązanie

UWAGI

Jednostka urojona to formalnie rzecz biorąc jeden z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych spełniających warunek \(i^2=-1\), drugim elementem jest liczba \(-i\), ponieważ \((-i)^2=(-1)^2\cdot i^2=-1\).

Często możesz spotkać się z zapisem

\[i=\sqrt{-1}\]

który choć nieformalny jest akceptowany. We wszelkich obliczeniach zalecam jednak stosowanie "prawdziwej" definicji jednostki urojonej, tj.:

Jednostką urojoną nazywamy liczbę \(i\), taką, że \[i^2=-1\]

Do czego może prowadzić stosowanie "nieformalnej" definicji jednostki urojonej \(i=\sqrt{-1}\)?

Oto przykłady sprzeczności jakie możemy otrzymać stosując zapis \(i=\sqrt{-1}\):

\[-1=i^2=i\cdot i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1\]

\[\frac{1}{i}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{-1}=i\]

WNIOSEK: Przy rozwiązywaniu zadań nie zamieniaj symbolu \(i\) na \(\sqrt{-1}\), jeśli jest "i" to niech tak zostanie, ale jeśli masz \(i^2\), \(i^3\) itp. to już spokojnie możesz zastosować definicję i napisać \(i^2=-1\) lub \(i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i\).

Komentarzy (2)

  • Sebastian
    Dziękuję za sugestię. Zadanie rozwiązałem i wrzuciłem już na stronę;-)
  • Włodzimierz M
    Szkoda, że nie macie wśród rozwiązań wyniku potęgowania: " liczba urojona "i" do potęgi "i" "