W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Zbadaj przebieg zmienności funkcji

\[f(x)=x^3-3x^2+2\]

Rozwiązanie

Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Nasza funkcja jest wielomianem, więc jej dziedzinę stanowią wszystkie liczby rzeczywiste:

\[D_f=\mathbb{R}\]

podobnie przeciwdziedzina zawiera wszystkie liczby rzeczywiste:

\[ZW_f=\mathbb{R}\]

Miejsca zerowe

obliczamy z równania:

\[f(x)=0\]

\[x^3-3x^2+2=0\]

Pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych szukamy wśród dzielników jego wyrazu wolnego (który wynosi 2), czyli liczb \(\{-1,1,-2,2\}\):

\[f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2\neq 0\]

\[f(1)=1^3-3\cdot 1^2+2= 0\]

\[f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2\neq 0\]

\[f(2)=2^3-3\cdot 2^2+2\neq 0\]

Widzimy, że jednym z miejsc zerowych jest liczba \(x=1\), dlatego istnieje wielomian stopnia 2 (dwumian kwadratowy) \(ax^2+bx+c\), taki, że:

\[0=f(x)=x^3-3x^2+2=(x-1)(ax^2+bx+c)\]

gdzie \(a,b,c\in\mathbb{R}\).

Po wykonaniu mnożenia i uporządkowaniu mamy:

\[(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c\]

Dlatego:

\[x^3-3x^2+2=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c\]

Porównując współczynniki przy \(x\) w wielomianach po obu stronach, mamy:

\[a=1,\,\,c=-2,\,\,b=-2\]

zatem:

\[0=f(x)=x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)\]

stąd:

\[(x-1)(x^2-2x-2)=0\]

UWAGA: Do powyrzszej równości można dojść też w inny sposób, mianowicie przez wyciąganie wyrażeń przed nawias:

\[0=f(x)=x^3-3x^2+2=x^3-x^2-2x^2+2=\]

\[=x^2(x-1)-2(x^2-1)=x^2(x-1)-2(x-1)(x+1)=\]

\[=(x-1)(x^2-2(x+1))=(x-1)(x^2-2x-2)\]

Iloczyn wyrażeń jest równy 0, gdy pierwsze wyrażenie jest równe 0 lub gdy drugie wyrażenie jest równe 0.

Drugie wyrażenie jest równe 0, gdy:

\[x^2-2x-2=0\]

\[\Delta=(-2)^2-4\cdot (-2)=4+8=12\]

\[\sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\]

\[x_1=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3}\]

\[x_2=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}\]

Zatem miejscami zerowymi funkcji \(f(x)\) są liczby \(1,\,1-\sqrt{3},\,1+\sqrt{3}\).

Punkty przecięcia z osią Oy

funkcja przecina oś Oy dla \(x=0\):

\[f(0)=0^3-3\cdot 0^2+2=2\]

Funkcja \(f(x)\) przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych \((0,2)\).

Parzystość, okresowość i ciągłość

Funkcja \(f(x)\) jako wielomian nie jest parzysta, nieparzysta ani okresowa, jest natomiast ciągła.

Łatwo można zauważyć, że istnieją \(x\in\mathbb{R}\), takie, że (np.\(x=2\)):

\[f(x)\neq f(-x)\]

\[f(x)\neq -f(-x)\]

\[f(x)\neq f(x+T)\]

dla dowolnego \(T\in\mathbb{R}\).

Funkcja \(f(x)\) jest ciągła, ponieważ dla każdego \(x,x_0\in\mathbb{R}\) mamy:

\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\]

Granice na krańcach dziedziny

liczymy granice funkcji w \(-\infty\) i \(+\infty\):

\[\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} (x^3-3x^2+2)=\big[-\infty-\infty+2\big]=-\infty\]

\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} (x^3-3x^2+2)=\big[+\infty-\infty+2\big]=\]

\[=\lim\limits_{x\to +\infty}x^3\left(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^3}\right)=\big[+\infty(1+0+0)\big]=+\infty\]

Asymptoty

Funkcja nie posiada asymptot pionowych, ponieważ jej dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste.

Sprawdzamy istnienie asymptot ukośnych:

\[\lim\limits_{x\to - \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to - \infty} \frac{x^3-3x^2+2}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty} \left(x^2-3x+\frac{2}{x}\right)=[\infty+\infty+0]=+\infty\]

\[\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty} \left(x^2-3x+\frac{2}{x}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}x^2\left(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^3}\right)=[+\infty(1-0+0)]=+\infty\]

Zatem nie istnieją asymptoty ukośne funkcji (w tym nie istnieją asymptoty poziome).

Przedziały monotoniczności

Liczymy pochodną funkcji:

\[f'(x)=(x^3-3x^2+2)'=(x^3)'-3(x^2)'+(2)'=3x^2-6x\]

\[f'(x)>0\,\,\Leftrightarrow\,\,3x^2-6x>0\]

\[3x(x-2)>0\,\,\Leftrightarrow\,\,x\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)\]

Zatem funkcja jest rosnąca dla \(x\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)\).

\[f'(x)<0\,\,\Leftrightarrow\,\,3x^2-6x<0\]

\[3x(x-2)<0\,\,\Leftrightarrow\,\,x\in(0,2)\]

Zatem funkcja jest malejąca dla \(x\in(0,2)\).

Ekstrema

Pochodna funkcji zeruje się w punktach \(x=0\) i \(x=2\), więc tylko w tych punktach może istnieć ekstremum lokalne.

\[f'(x)=0\,\,\Leftrightarrow\,\,3x^2-6x=0\]

\[3x(x-2)=0\,\,\Leftrightarrow\,\,x=0\,\,\vee\,\,x=2\]

Funkcja rośnie na lewo od \(x=0\) i maleje na prawo, więc w punkcie \(x=0\) występuje maksimum lokalne.

Funkcja maleje na lewo od punktu \(x=2\) i rośnie na prawo od niego, więc w punkcie \(x=2\) występuje minimum lokalne.

Przedziały wypukłości i wklęsłości

Liczymy drugą pochodną funkcji:

\[f''(x)=(f'(x))'=(3x^2-6x)'=6x-6=6(x-1)\]

\[f''(x)>0\,\,\Leftrightarrow\,\,6(x-1)>0\]

\[x>1\]

Zatem funkcja jest wypukła dla \(x>1\).

\[f''(x)<0\,\,\Leftrightarrow\,\,6(x-1)<0\]

\[x<1\]

Zatem funkcja jest wklęsła dla \(x<1\).

Punkty przegięcia

Druga pochodna funkcji zeruje się tylko w punkcie \(x=1\), więc tylko w tym punkcie może występować punkt przegięcia.

\[f''(x)=0\,\,\Leftrightarrow\,\,6(x-1)=0\]

\[x=1\]

\(f''(x)<0\) dla \(x<1\) i \(f''(x)>0\) dla \(x>1\), więc druga pochodna zmienia znak w punkcie \(x=1\), co oznacza, że funkcja ma tam punkt przegięcia.

Tabela przebiegu zmienności

 \(\,x\,\)
 \(\,-\infty\,\)
 \(\,-\infty<x<0\,\)
 \(\,x=0\,\)
 \(\,0<x<1\,\)
 \(\,x=1\,\)
 \(\,1<x<2\,\)
\(\,x=2\,\) \(\,2<x<+\infty\,\)
\(+\infty\)
 \(\,f''(x)\,\)
\(\,-\infty\,\) 
 - - - 0 + ++ \(+\infty\)
\(\,f'(x)\,\)\(\,+\infty\,\)
+ 0- -3-0
+\(+\infty\)
\(\,f(x)\,\)\(\,-\infty\,\) 
\(\nearrow\)2\(\searrow\)0\(\searrow\)-2\(\nearrow\) \(+\infty\)
   max p.p. min  

 

Wykres funkcji

Na koniec wykres funkcji \(f(x)=x^3-3x^2+2\):

 

Wskazówki

Badanie przebiegu zmienności funkcji krok po kroku

  1. Wyznaczamy dziedzinę i zbiór wartości funkcji.
  2. Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji (jeśli istnieją).
  3. Wyznaczamy punkt przecięcia z osią Oy (jeśli istnieje).
  4. Opisujemy inne charakterystyczne własności funkcji (parzystość i nieparzystość, okresowość, ciągłość).
  5. Obliczamy wartości lub granice funkcji w punktach leżących na krańcach dziedziny.
  6. Wyznaczamy asymptot funkcji (asymptoty pionowe, poziome lub ukośne).
  7. Obliczamy pochodną funkcji i wyznaczamy przedziały monotoniczności (czyli gdzie funkcja jest rosnąca lub malejąca itp.).
  8. Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji korzystając z pochodnej.
  9. Obliczamy drugą pochodną funkcji i wyznaczamy przedziały wypukłości i wklęsłości.
  10. Wyznaczamy punkty przegięcia funkcji korzystając z drugiej pochodnej.
  11. Rysujemy szkic wykresu funkcji. Wykres nie musi być dokładny, ale powinien uwzględniać charakterystyczne cechy funkcji opisane w poprzednich punktach (np. monotoniczność, asymptoty itd.).

Monotoniczność funkcji a pochodna

 Jeżeli

  • \(f'(x)>0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest rosnąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)<0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest malejąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)\ge 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest niemalejąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)\le 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest nierosnąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)=0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest stała dla \(x\in(a,b)\)

Ekstrema lokalne a pochodna funkcji

Funkcja ciągła i różniczkowalna (mająca pochodną) może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, które należą do dziedziny i w których jej pochodna jest równa zero (lub nie istnieje), czyli szukamy takich punktów \(x_0\), że

\(f'(x_0)=0\).

Jeżeli istnieje \(\delta>0\) taka, że

  • \(f'(x)>0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\)\(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada maksimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\);
  • \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\)\(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada minimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\).

Tłumaczenie na "ludzki" język:

Jeżeli funkcja jest rosnąca na lewo od punktu \(x_0\) i malejąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy maksimum lokalne.

Jeżeli funkcja jest malejąca na lewo od punktu \(x_0\) i rosnąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy minimum lokalne.

Funkcja może być rosnąca lub majejąca na lewo lub na prawo od punktu \(x_0\) nawet na małym odcinku. Dlatego właśnie ekstremum ma nazwę lokalne.

Ekstrema lokalne a druga pochodna funkcji

Jeżeli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna, druga pochodna funkcji jest ciągła oraz

\(f'(x_0)=0,\,\,\,f''(x_0)\neq 0\),

to funkcja f(x) posiada ekstremum lokalne w punkcie \(x_0\).

Jeżeli

  • \(f''(x_0)<0\), to funkcja ma maksimum lokalne w punkcie \(x_0\);
  • \(f''(x_0)>0\), to funkcja ma minimum lokalne w punkcie \(x_0\).

Wypukłość i wklęsłość a druga pochodna

Jeżeli

  • \(f'''(x)>0\), dla \(x\in(a,b)\) to funkcja f(x) jest ściśle wypukła na przedziale (a,b);
  • \(f'''(x)<0\), dla \(x\in(a,b)\) to funkcja f(x) jest ściśle wklęsła na przedziale (a,b).

Punkty przegięcia a druga pochodna

Funkcja może mieć punkty przegięcia, tylko w punktach, które należą do dziedziny i w których jej druga pochodna jest równa zero (lub nie istnieje), czyli szukamy takich punktów \(x_0\), że

\(f''(x_0)=0\).

Następnie sprawdzamy, czy \(f''(x)\) zmienia znak w punkcie \(x_0\) (czyli sprawdzamy, czy)

  • \(f''(x)<0\), dla \(x<x_0\) i \(f''(x)>0\), dla \(x>x_0\) lub
  • \(f''(x)>0\), dla \(x<x_0\) i \(f''(x)<0\), dla \(x>x_0\)

wtedy punkt \(x_0,f(x_0)\) jest punktem przegięcia funkcji f(x).

Komentarzy (0)