W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Zbadaj przebieg zmienności funkcji

Przebieg zmienności - wzór funckji, zad. 1

Rozwiązanie

Przebieg zmienności funkcji - rozwiązanie zad. 1a

Przebieg zmienności funkcji - rozwiązanie zad. 1b

Przebieg zmienności funkcji - rozwiązanie zad. 1c

Przebieg zmienności funkcji - rozwiązanie zad. 1d

Przebieg zmienności funkcji - rozwiązanie zad. 1e

Przebieg zmienności funkcji - rozwiązanie zad. 1f

Tabela przebiegu zmienności

 \(\,x\,\)
 \(-\infty\)
 \(-\infty<x<-\sqrt{2}\)
 \(-\sqrt{2}^-\)
 \(-\sqrt{2}^+\)  \(-\sqrt{2}<x<0\)
 \(0\)
 \(1<x<\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}^-\)\(\sqrt{2}^+\) \(\sqrt{2}<x<+\infty\)
\(+\infty\)
 \(\,f''(x)\,\)
\(\,0\,\) 
 + \(+\infty\)\(-\infty\) - - - \(-\infty\)\(+\infty\)+ \(0\)
\(\,f'(x)\,\)\(\,0\,\)
+\(+\infty\)\(+\infty\)+ 0-\(-\infty\)\(-\infty\)-\(0\)
\(\,f(x)\,\)\(\,1\,\) 
\(\nearrow\)\(+\infty\)\(-\infty\)\(\nearrow\)\(\frac{1}{2}\)\(\searrow\)\(-\infty\)\(+\infty\)\(\searrow\) \(1\)
      max     

 

Wykres funkcji

Przebieg zmienności funkcji - rysunek

Wskazówki

Badanie przebiegu zmienności funkcji krok po kroku

  1. Wyznaczamy dziedzinę i zbiór wartości funkcji.
  2. Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji (jeśli istnieją).
  3. Wyznaczamy punkt przecięcia z osią Oy (jeśli istnieje).
  4. Opisujemy inne charakterystyczne własności funkcji (parzystość i nieparzystość, okresowość, ciągłość).
  5. Obliczamy wartości lub granice funkcji w punktach leżących na krańcach dziedziny.
  6. Wyznaczamy asymptot funkcji (asymptoty pionowe, poziome lub ukośne).
  7. Obliczamy pochodną funkcji i wyznaczamy przedziały monotoniczności funkcji (gdzie funkcja jest rosnąca lub malejąca itp.).
  8. Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji korzystając z pochodnej funkcji.
  9. Obliczamy drugą pochodną funkcji i wyznaczamy przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji.
  10. Wyznaczamy punkty przegięcia funkcji korzystając z drugiej pochodnej.
  11. Rysujemy szkic wykresu funkcji. Wykres nie musi być dokładny, ale powinien uwzględniać charakterystyczne cechy funkcji opisane w poprzednich punktach (np. monotoniczność, asymptoty itd.).

Monotoniczność funkcji a pochodna

 Jeżeli

  • \(f'(x)>0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest rosnąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)<0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest malejąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)\ge 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest niemalejąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)\le 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest nierosnąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)=0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest stała dla \(x\in(a,b)\)

Ekstrema lokalne a pochodna funkcji

Funkcja ciągła i różniczkowalna (mająca pochodną) może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, które należą do dziedziny i w których jej pochodna jest równa zero (lub nie istnieje), czyli szukamy takich punktów \(x_0\), że

\(f'(x_0)=0\).

Jeżeli istnieje \(\delta>0\) taka, że

  • \(f'(x)>0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\)\(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada maksimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\);
  • \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\)\(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada minimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\).

Tłumaczenie na "ludzki" język:

Jeżeli funkcja jest rosnąca na lewo od punktu \(x_0\) i malejąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy maksimum lokalne.

Jeżeli funkcja jest malejąca na lewo od punktu \(x_0\) i rosnąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy minimum lokalne.

Funkcja może być rosnąca lub majejąca na lewo lub na prawo od punktu \(x_0\) nawet na małym odcinku. Dlatego właśnie ekstremum ma nazwę lokalne.

Ekstrema lokalne a druga pochodna funkcji

Jeżeli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna, druga pochodna funkcji jest ciągła oraz

\(f'(x_0)=0,\,\,\,f''(x_0)\neq 0\),

to funkcja f(x) posiada ekstremum lokalne w punkcie \(x_0\).

Jeżeli

  • \(f''(x_0)<0\), to funkcja ma maksimum lokalne w punkcie \(x_0\);
  • \(f''(x_0)>0\), to funkcja ma minimum lokalne w punkcie \(x_0\).

Wypukłość i wklęsłość a druga pochodna

Jeżeli

  • \(f'''(x)>0\), dla \(x\in(a,b)\) to funkcja f(x) jest ściśle wypukła na przedziale (a,b);
  • \(f'''(x)<0\), dla \(x\in(a,b)\) to funkcja f(x) jest ściśle wklęsła na przedziale (a,b).

Punkty przegięcia a druga pochodna

Funkcja może mieć punkty przegięcia, tylko w punktach, które należą do dziedziny i w których jej druga pochodna jest równa zero (lub nie istnieje), czyli szukamy takich punktów \(x_0\), że

\(f''(x_0)=0\).

Następnie sprawdzamy, czy \(f''(x)\) zmienia znak w punkcie \(x_0\) (czyli sprawdzamy, czy)

  • \(f''(x)<0\), dla \(x<x_0\) i \(f''(x)>0\), dla \(x>x_0\) lub
  • \(f''(x)>0\), dla \(x<x_0\) i \(f''(x)<0\), dla \(x>x_0\)

wtedy punkt \(x_0,f(x_0)\) jest punktem przegięcia funkcji f(x).

Komentarzy (2)

  • Sebastian
    @cezary Rzeczywiście był drobny błąd w zapisie (brakowało kwadratu), ale Twój wynik też nie jest prawidłowy.
    Tabelka przebiegu zmienności dodana :-)
  • cezary
    jest błąd w liczeniu drugiej pochodnej powinno być \(\frac{-2x^4+16x-8}{(x^2-2)^2}\) tzn wynik jest źle zapisany :D tak to spoko szkoda że tabelki nie zrobiłeś....