W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Zbadaj monotoniczność i wyznacz ekstrema funkcji

Monotoniczność - wzór funckji, zad. 2

Rozwiązanie

Monotoniczność funkcji - rozwiązanie zad. 2

Na koniec wykres funkcji \(f(x)=e^x(x+1)\) (na czerwono):

 

Wskazówki

W tego typu zadaniach zawsze zaczynamy od wyznaczenia dziedziny funkcji.

Monotoniczność funkcji a pochodna

 Jeżeli

  • \(f'(x)>0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest rosnąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)<0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest malejąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)\ge 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest niemalejąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)\le 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest nierosnąca dla \(x\in(a,b)\)
  • \(f'(x)=0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest stała dla \(x\in(a,b)\)

Ekstrema lokalne a pochodna funkcji

Funkcja ciągła i różniczkowalna (mająca pochodną) może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, które należą do dziedziny i w których jej pochodna jest równa zero (lub nie istnieje), czyli szukamy takich punktów \(x_0\), że

\(f'(x_0)=0\).

Jeżeli istnieje \(\delta>0\) taka, że

  • \(f'(x)>0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\)\(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada maksimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\);
  • \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\)\(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada minimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\).

Tłumaczenie na "ludzki" język:

Jeżeli funkcja jest rosnąca na lewo od punktu \(x_0\) i malejąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy maksimum lokalne.

Jeżeli funkcja jest malejąca na lewo od punktu \(x_0\) i rosnąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy minimum lokalne.

Funkcja może być rosnąca lub majejąca na lewo lub na prawo od punktu \(x_0\) nawet na małym odcinku. Dlatego właśnie ekstremum ma nazwę lokalne.

Ekstrema lokalne a druga pochodna funkcji

Jeżeli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna, druga pochodna funkcji jest ciągła oraz

\(f'(x_0)=0,\,\,\,f''(x_0)\neq 0\),

to funkcja f(x) posiada ekstremum lokalne w punkcie \(x_0\).

Jeżeli

  • \(f''(x_0)<0\), to funkcja ma maksimum lokalne w punkcie \(x_0\);
  • \(f''(x_0)>0\), to funkcja ma minimum lokalne w punkcie \(x_0\).

 

Komentarzy (0)