W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Funkcje - zadania z rozwiązaniami

Oblicz miejsca zerowe funkcji

\[f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{\sqrt{x}-1}\]

Rozwiązanie

Przed przystąpieniem do obliczania miejsc zerowych, warto wyznaczyć najpierw dziedzinę funkcji.

Sprawdzamy, dla jakich \(x\) mianownik jest różny od zera:

\[\sqrt{x}-1\neq 0\]

\[\sqrt{x}\neq 1\,/\,^2\]

\[x\neq 1\]

\[x\in \mathbb{R}\setminus \{1\}\]

We wzorze funkcji wysyępuje też pierwiastek kwadratowy, więc:

\[x\ge 0\]

\[x\in [0,+\infty)\]

Zatem dziedziną funkcji jest część wspólna powyższych zbiorów, czyli:

\[D_f=[0,1)\cup (1,+\infty)\]

Przystępujemy do liczenia miejsc zerowych, czyli szukamy takich \(x\in D_f\), że

\[f(x)=0\]

stąd:

\[\frac{(x-1)(x+2)}{\sqrt{x}-1}=0\,/\,\cdot\,(\sqrt{x}-1)\]

\[(x-1)(x+2)=0\]

Iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zero tylko, gdy pierwze lub drugie wyrażenie jest równe zero, stąd:

\[x-1=0\,\,\textrm{lub}\,\,x+2=0\]

\[x=1\,\,\textrm{lub}\,\,x=-2\]

Zauważmy, że zarówno \(x=1\) jak i \(x=-2\) nie należą do dziedziny naszej funkcji, więc funkcja nie ma żadnych miejsc zerowych.

Na koniec wykres funkcji, na którym widać, że funkcja rzeczywiście nie ma żadnych miejsc zerowych:

 

Wskazówki

Miejsca zerowe funkcji

są to liczby \(x\) należące do dziedziny funkcji, które spełniają równanie:

\[f(x)=0\]

Dziedzina funkcji \(D_f\)

Dziedzina funkcji jest to zbiór takich x, dla których istnieją wartości funkcji (czyli są to wszystkie x, które można podstawić do wzoru funkcji).

Innymi słowy dziedzina jest zbiorem wszystkich argumentów funkcji.

Na co zwrócić uwagę przy wyznaczaniu dziedziny?

Oczywiście zwracaj zawsze uwagę na działania niedozwolone w matematyce:

  • dzielenie przez 0, np.\[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)},\,\,\textrm{wtedy}\,\,h(x)\neq 0\]
  • pierwiastkowanie (stopnia parzystego) liczb ujemnych, np.\[f(x)=\sqrt{g(x)},\,\,\textrm{wtedy}\,\,g(x)\ge 0\]
  • logarytmowanie liczb ujemnych, np.\[f(x)=\ln(g(x)),\,\,\textrm{wtedy}\,\,g(x)>0\]

Komentarzy (0)


    W tym dziele znajdziesz kilkadziesiąt zadań z rozwiązaniami krok po kroku z zakresu funkcji jednej zmiennej. Zobacz przykłady określania dziedziny i własności funkcji, obliczania granic, sprawdzania ciągłości funkcji, wyznaczania asymptot oraz sprawdzania monotoniczności i ekstremów. Ucząc się funkcji na przykładach poznasz typowe schematy rozwiązywania zadań, np. jak poradzić sobie z symbolami nieoznaczonymi przy obliczaniu granic funkcji (reguła de L'Hospitala), jak liczyć asymptoty funkcji i wiele innych.

    Zachęcam do próby samodzielnego rozwiązywania zadań i sięganie do rozwiązań na stronie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku. Jeśli czegoś nie rozumiesz zapytaj w komentarzu pod zadaniem. Na koiniec pozostaje mi jedynie życzyć Ci powodzenia w nauce i świetnych wyników na egzaminie!