W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Funkcje - zadania z rozwiązaniami

Wyznacz dziedzinę, miejsca zerowe i zbiór wartości funkcji wymiernej

\[f(x)=\frac{2}{x+3}+4\]

Rozwiązanie

Dziedzina

mianownik musi być różny od zera, więc:

\[x+3\neq 0\,\,\Rightarrow\,\,x\neq -3\]

stąd:

\[D_f=\mathbb{R}\setminus \{-3\}\]

Miejsca zerowe

wyznaczamy z równania:

\[f(x)=0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\frac{2}{x+3}+4=0\]

stąd:

\[\frac{2}{x+3}=-4\,\,/\cdot \,\frac{x+3}{-4}\]

\[\frac{2}{-4}=x+3\]

\[x=-3-\frac{1}{2}=-3\frac{1}{2}\]

Zatem jedynym miejscem zerowym funkcji \(f(x)\) jest liczba \(x=-3\frac{1}{2}\).

Zbiór wartości - przeciwdziedzina

wyznaczymy najłatwiej z wykresu:

 

Z wykresu widzimy, że przeciwdziedziną funkcji \(f(x)\) jest zbiór:

\[ZW=\mathbb{R}\setminus \{4\}\]

Można też sprawdzić w jaki zbiór funkcja odwzorowuje swoją dziedzinę.

Szukamy \(y\), które spełniają równanie:

\[\frac{2}{x+3}+4=y\]

dla \(x\in \mathbb{R}\setminus \{-3\}\), czyli dla \(x\) należących do dziedziny funkcji.

Zauważ, że napewno nigdy nie otrzymamy wartości \(y=4\), ponieważ dla każdego \(x\in\mathbb{R}\):

\[\frac{2}{x+3}\neq 0\]

Załóżmy więc, że \(y\neq 4\), wtedy:

\[\frac{2}{x+3}=y-4\,\,/\cdot \,\frac{x+3}{y-4}\]

\[\frac{2}{y-4}=x+3\]

\[x=-3+\frac{2}{y-4}\]

Teraz zauważmy, że dziedziną powyższego równania jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus \{4\}\).

Z powyższego rozumowania widać, że zbiór \(x\in \mathbb{R}\setminus \{-3\}\) jest odwzorowywany w zbiór \(y\in\mathbb{R}\setminus \{4\}\). 

Zatem zbiorem wartości funkcji \(f(x)\) jest zbiór:

\[ZW=\mathbb{R}\setminus \{4\}\]

Wskazówki

Dziedzina funkcji \(D_f\)

Dziedzina funkcji jest to zbiór takich x, dla których istnieją wartości funkcji (czyli są to wszystkie x, które można podstawić do wzoru funkcji).

Innymi słowy dziedzina jest zbiorem wszystkich argumentów funkcji.

Na co zwrócić uwagę przy wyznaczaniu dziedziny?

Oczywiście zwracaj zawsze uwagę na działania niedozwolone w matematyce:

  • dzielenie przez 0, np.\[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)},\,\,\textrm{wtedy}\,\,h(x)\neq 0\]
  • pierwiastkowanie (stopnia parzystego) liczb ujemnych, np.\[f(x)=\sqrt{g(x)},\,\,\textrm{wtedy}\,\,g(x)\ge 0\]
  • logarytmowanie liczb ujemnych, np.\[f(x)=\ln(g(x)),\,\,\textrm{wtedy}\,\,g(x)>0\]

Miejsca zerowe funkcji

są to liczby \(x\) należące do dziedziny funkcji, które spełniają równanie:

\[f(x)=0\]

Zbiór wartości funkcji (przeciwdziedzina) \(ZW\)

jest to zbiór tych \(y\), dla których \(f(x)=y\) dla \(x\) należącego do dziedziny.

Jest to zbiór liczb, które możemy otrzymać ze wzoru funkcji.

Komentarzy (0)


    W tym dziele znajdziesz kilkadziesiąt zadań z rozwiązaniami krok po kroku z zakresu funkcji jednej zmiennej. Zobacz przykłady określania dziedziny i własności funkcji, obliczania granic, sprawdzania ciągłości funkcji, wyznaczania asymptot oraz sprawdzania monotoniczności i ekstremów. Ucząc się funkcji na przykładach poznasz typowe schematy rozwiązywania zadań, np. jak poradzić sobie z symbolami nieoznaczonymi przy obliczaniu granic funkcji (reguła de L'Hospitala), jak liczyć asymptoty funkcji i wiele innych.

    Zachęcam do próby samodzielnego rozwiązywania zadań i sięganie do rozwiązań na stronie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku. Jeśli czegoś nie rozumiesz zapytaj w komentarzu pod zadaniem. Na koiniec pozostaje mi jedynie życzyć Ci powodzenia w nauce i świetnych wyników na egzaminie!