W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Funkcje - zadania z rozwiązaniami

Podaj przykład funkcji wymiernej, która dla argumentu równego 1 przyjmuje wartość 5, a jej dziedziną jest zbiór:

\[D_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}\]

Rozwiązanie

Szukana funkcja spełnia dwa warunki:

\[f(1)=5\]

oraz

\[D_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}\]

Weźmy najprostszą funkcję wymierną postaci:

\[f(x)=\frac{a}{x},\,\,\textrm{gdzie}\,\,\,a\in\mathbb{R}\]

Dziedzinę takiej funkcji stanowi zbiór \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\), szukamy \(a\in\mathbb{R}\) takiego, że \(f(1)=5\):

\[f(1)=5\,\,\Leftrightarrow\,\, \frac{a}{1}=5\]

stąd:

\[a=5\]

Zatem przykładem funkcji wymiernej spełniającej warunki zadania jest funkcja:

\[f(x)=\frac{5}{x}\]

Na koniec wykres funkcji \(f(x)=\frac{5}{x}\):

 

Wskazówki

Dziedzina funkcji - definicja

Dziedzina jest zbiorem takich x, dla których istnieją wartości funkcji (są to wszystkie x, które można podstawić do wzoru funkcji).

Innymi słowy dziedzina jest zbiorem wszystkich argumentów funkcji.

Dziedzina funkcji w praktyce

Oczywiście zwracaj zawsze uwagę na działania niedozwolone w matematyce:

  • dzielenie przez 0, np.\[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)},\,\,\textrm{wtedy}\,\,h(x)\neq 0\]
  • pierwiastkowanie (stopnia parzystego) liczb ujemnych, np.\[f(x)=\sqrt{g(x)},\,\,\textrm{wtedy}\,\,g(x)\ge 0\]
  • logarytmowanie liczb ujemnych, np.\[f(x)=\ln(g(x)),\,\,\textrm{wtedy}\,\,g(x)>0\]

 

Komentarzy (0)


    W tym dziele znajdziesz kilkadziesiąt zadań z rozwiązaniami krok po kroku z zakresu funkcji jednej zmiennej. Zobacz przykłady określania dziedziny i własności funkcji, obliczania granic, sprawdzania ciągłości funkcji, wyznaczania asymptot oraz sprawdzania monotoniczności i ekstremów. Ucząc się funkcji na przykładach poznasz typowe schematy rozwiązywania zadań, np. jak poradzić sobie z symbolami nieoznaczonymi przy obliczaniu granic funkcji (reguła de L'Hospitala), jak liczyć asymptoty funkcji i wiele innych.

    Zachęcam do próby samodzielnego rozwiązywania zadań i sięganie do rozwiązań na stronie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku. Jeśli czegoś nie rozumiesz zapytaj w komentarzu pod zadaniem. Na koiniec pozostaje mi jedynie życzyć Ci powodzenia w nauce i świetnych wyników na egzaminie!