W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Funkcje - zadania z rozwiązaniami

Wyznacz dziedzinę i narysuj wykres funkcji

Dziedzina funkcji - wzór funckji, zad. 16

Rozwiązanie

Dziedzina funkcji - rozwiązanie zad. 16

Na koniec wykres funkcji \(f(x)=\ln(2x+1)\), na którym widać,
że funkcja przyjmuje wartości tylko dla \(x>-\frac{1}{2}\):

 

UWAGA: Najedź myszką na wykres, aby go powiększyć i przesuwać widok.

Wskazówki

\(\ln x\) oznacza logarytm naturalny, czyli logarytm przy podstawie \(e\)\[\ln x=\log_e x\]gdzie \(e\) jest liczbą Eulera \(e\approx 2,7183\)

W przykładzie sprawdzamy dla jakich wartości x wyrażenie logarytmowane jest dodatnie (dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich), czyli\[2x+1>0\]

Co to jest dziedzina funkcji?

Dziedzina funkcji (oznaczamy symbolem \(D\)) jest to zbiór takich x, dla których istnieją wartości funkcji, czyli są to wszystkie x, które można podstawić do wzoru funkcji.

Innymi słowy dziedzina jest zbiorem wszystkich argumentów funkcji.

Na co zwrócić uwagę przy wyznaczaniu dziedziny?

Oczywiście zwracaj zawsze uwagę na działania niedozwolone w matematyce, które pomogą Ci wyznaczyć warunki dla \(x\) należących do dziedziny:

  • logarytmowanie wyrażeń ujemnych. Dla \(a>0,\,a\neq 1\)\[f(x)=\log_a(g(x)),\,\,\textrm{wtedy}\,\,g(x)>0\]np. dla \(a=e\)\[f(x)=\ln(g(x)),\,\,\textrm{wtedy}\,\,g(x)>0\]
  • dzielenie przez 0, np.\[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)},\,\,\textrm{wtedy}\,\,h(x)\neq 0\]
  • pierwiastkowanie (stopnia parzystego) wyrażeń ujemnych, np.\[f(x)=\sqrt{g(x)},\,\, \textrm{wtedy}\,\,g(x)\ge 0\]

 

Komentarzy (0)


    W tym dziele znajdziesz kilkadziesiąt zadań z rozwiązaniami krok po kroku z zakresu funkcji jednej zmiennej. Zobacz przykłady określania dziedziny i własności funkcji, obliczania granic, sprawdzania ciągłości funkcji, wyznaczania asymptot oraz sprawdzania monotoniczności i ekstremów. Ucząc się funkcji na przykładach poznasz typowe schematy rozwiązywania zadań, np. jak poradzić sobie z symbolami nieoznaczonymi przy obliczaniu granic funkcji (reguła de L'Hospitala), jak liczyć asymptoty funkcji i wiele innych.

    Zachęcam do próby samodzielnego rozwiązywania zadań i sięganie do rozwiązań na stronie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku. Jeśli czegoś nie rozumiesz zapytaj w komentarzu pod zadaniem. Na koiniec pozostaje mi jedynie życzyć Ci powodzenia w nauce i świetnych wyników na egzaminie!