W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Funkcje - zadania z rozwiązaniami

Zbadaj ciągłość funkcji:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)&\textrm{dla}\,\,x\neq 0\\ 0& \textrm{dla}\,\,x=0\end{array}\right.\]

Rozwiązanie

Funkcja \(f(x)\) jest ciągła na przedziałach \((-\infty,0)\) oraz \((0,+\infty)\), ponieważ jest tam funkcją elementarną (iloczynem funkcji ciągłych \(g(x)=x\) i \(h(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)).

Zbadajmy więc ciągłość funkcji w punkcie \(x_0=0\). Sprawdzimy, czy:

\[\lim\limits_{x\to 0} f(x)=f(0)=0\]

Jeśli tak, to funkcja będzie ciągła.

Granicę \(\lim\limits_{x\to 0} f(x)=\lim\limits_{x\to 0} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) obliczymy z twierdzenia o trzech funkcjach.

Dla każdego \(x\neq 0\) mamy:

\[-1\le \sin\left(\frac{1}{x}\right)\le 1\]

stąd:

\[-|x|\le x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \le |x|\]

oraz z ciągłości funkcji \(|x|\) w punkcie \(x_0=0\) mamy:

\[\lim\limits_{x\to 0}(-|x|)=-|0|=0\]

\[\lim\limits_{x\to 0}|x|=|0|=0\]

Zatem na mocy twierdzenia o 3 funkcjach:

\[\lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0\]

Ostatecznie mamy więc:

\[\lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0=f(0)\]

zatem funckja \(f(x)\) jest ciągła w punkcie \(x_0=0\).

Odp. Funkcja \(f(x)\) jest ciągła dla wszystkich \(x\in\mathbb{R}\).

Wskazówki

Funkcja ciągła - definicja

Funkcja jest ciągła w punkcie \(x_0\), gdy spełniony jest warunek

\(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\).

Przykłady funkcji ciągłych

Ciągłe (w swoich dziedzinach) są wszystkie funkcje elementarne (czyli takie, które da się zapisać wzorem):

  • wielomiany, np. \(f(x)=5, f(x)=x, f(x)=3x^3-7x^2+2\)
  • funkcje wymierne postaci \(\frac{f(x)}{g(x)}\), gdzie f(x) i g(x) są wielomianami
  • funkcja wykładnicza \(f(x)=a^x, a>0\)
  • funkcja potęgowa \(f(x)=x^a\), np. \(f(x)=\sqrt{x}\)
  • funkcja logarytmiczna \(f(x)=\log_a(x),\, a>0,\, a\neq 1\)
  • funkcje trygonometryczne: sinx, cosx, tgx i ctgx
  • funkcje cyklometryczne: arcsinx, arccosx, arctgx i arcctgx

Własności funkcji ciągłych

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe, to funkcje

  • \(f(x)+g(x)\) - suma funkcji
  • \(f(x)-g(x)\) - różnica funkcji
  • \(f(x)g(x)\) - iloczyn funkcji
  • \(\frac{f(x)}{g(x)}\) - iloraz funkcji
  • \(f(g(x))\) - złożenie funkcji (superpozycja)

też są ciągłe (w swoich dziedzinach).

Komentarzy (4)

  • Sebastian Orzeł
    @kaskada9 Tutaj raczej \(a=1\) i \(b=4\), wtedy \(f(a)=1,\,\,f(b)=8\).
  • kaskada9
    ok, a jak zapisać f(∞) poprawnie? bo rozumiem ze w przypadku tego zadania gdzie przedział jest (0, +∞) to moim f(a) bedzie f(0) a f(b) bedzie właśnie to f(∞)?
  • Sebastian Orzeł
    @kaskada9 Przykładem funkcji spełniającej podane warunki jest \(f(x)=2^{x-1}\) (wtedy \(f(x+1)=2f(x)\)). Proszę spróbować pójść w kierunku zastosowania własności Darboux, tzn. jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ciągła w przedziale \([a,b]\) i \(f(a)\neq f(b)\), to dla każdego \(f(a)\le y\le f(b)\) istnieje punkt \(x\in(a,b)\), taki, że \(f(x)=y\).
  • kaskada9
    co robić jeżeli mamy zadanie tego typu? potrzebuje pomocy, poniewaz nie potrafie rozwiazac takiego zadania z ciaglosci.
    Zadanie:
    Niech f : (0, +∞] → (0, +∞) będzie funkcją ciągłą taką, że f(4) = 8 ,a f(1) = 1. Udowodnij, że istnieje takie x, dla którego f(x + 1) = 2f(x).

W tym dziele znajdziesz kilkadziesiąt zadań z rozwiązaniami krok po kroku z zakresu funkcji jednej zmiennej. Zobacz przykłady określania dziedziny i własności funkcji, obliczania granic, sprawdzania ciągłości funkcji, wyznaczania asymptot oraz sprawdzania monotoniczności i ekstremów. Ucząc się funkcji na przykładach poznasz typowe schematy rozwiązywania zadań, np. jak poradzić sobie z symbolami nieoznaczonymi przy obliczaniu granic funkcji (reguła de L'Hospitala), jak liczyć asymptoty funkcji i wiele innych.

Zachęcam do próby samodzielnego rozwiązywania zadań i sięganie do rozwiązań na stronie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku. Jeśli czegoś nie rozumiesz zapytaj w komentarzu pod zadaniem. Na koiniec pozostaje mi jedynie życzyć Ci powodzenia w nauce i świetnych wyników na egzaminie!