W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Korzystając z Tw. Weierstrassa uzasadnij zbieżność bezwzględną i jednostajną szeregu funkcyjnego

Szeregi funkcyjne - zad. 9

Rozwiązanie

Szeregi funkcyjne - zad. 9 - rozwiązanie

Wskazówki:

  1. \(x\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\), więc \(x\le\frac{1}{2}\), a stąd wynika, że \(|x|^n\le\left(\frac{1}{2}\right)^n\)
  2. Liczymy granicę \(\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}\), która wynosi \(\frac{1}{2}\).
    Zatem na mocy kryterium Cauchy'ego szereg liczbowy jest zbieżny.
  3. Twierdzenie Weierstrassa o zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego:
    Jeżeli \(|f_n(x)|\le a_n\) dla \(x\in X\) i szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny, to szereg funkcyjny \(\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)\) jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie dla \(x\in X\).

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!