W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Znaleźć sumy częściowe szeregu liczbowego

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]

Rozwiązanie

Wypiszmy dwa pierwsze wyrazy ciągu sum częściowych szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\):

\[S_1=\sum\limits_{n=1}^1 \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]

\[S_2=\sum\limits_{n=1}^2 \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{1+2}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\]

Widać, że w każdej sumie redukują się wszystkie składniki oprócz pierwszego i ostatniego, zatem:

\[S_k=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\,+\,...\,+\,\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1}\]

Zatem dla \(k=1,2,3,...\) mamy:

\[S_k=1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1}\]

Wskazówki

Co to jest ciąg sum częściowych szeregu liczbowego?

Ciągiem sum częściowych szeregu liczbowego \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) nazywamy ciąg liczbowy \(S_k\):

\[S_k=\sum\limits_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+a_3\,+\,...\,+\,a_k\]

Ciąg sum częściowych szeregu jest sumą \(k\) pierwszych wyrazów ciągu \(a_n\) (\(k\) pierwszych składników szeregu):

\(S_1\) jest równe pierwszemu wyrazowi:

\[S_1=\sum\limits_{n=1}^1 a_n=a_1\]

\(S_2\) jest równe sumie pierwszych dwóch wyrazów ciągu:

\[S_2=\sum\limits_{n=1}^2 a_n=a_1+a_2\]

\(S_3\) jest równe sumie pierwszych trzech wyrazów ciągu:

\[S_3=\sum\limits_{n=1}^3 a_n=a_1+a_2+a_3\]

\[\vdots\]

\(S_6\) jest równe sumie pierwszych sześciu wyrazów ciągu:

\[S_6=\sum\limits_{n=1}^6 a_n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6\]

Zauważ, że suma szeregu jest równa granicy jego ciągu sum częściowych:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\lim\limits_{k\to \infty}\sum\limits_{n=1}^k a_n=\lim\limits_{n\to \infty} S_k\]

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!