W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego

Szeregi liczbowe - zad. 3

Rozwiązanie

Sprawdzimy, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych:

Szeregi liczbowe - zad. 3 - rozwiązanie

Wskazówki do zadania

Granica ciągu \(a_n=(-1)^n\) nie istnieje, ponieważ można wybrać dwa podciągi zbieżne do różnych granic.

Weźmy podciąg \(a_{2k}=(-1)^{2k}=1\), dla \(k=1,2,3,...\), wówczas:

\[\lim\limits_{k\to \infty} a_{2k}=\lim\limits_{k\to \infty} 1=1\]

Weźmy podciąg \(a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}=-1\), dla \(k=1,2,3,...\), wówczas:

\[\lim\limits_{k\to \infty} a_{2k+1}=\lim\limits_{k\to \infty} (-1)=-1\]

Granice podciągów są różne, więc granica ciągu \(a_n=(-1)^n\) nie istnieje.

Warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych

Jeżeli \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n\neq 0\) lub \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n\) nie istnieje, to szereg \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest rozbieżny.

 Jak sprawdzić, czy szereg liczbowy jest zbieżny?

 Oto podstawowe metody, które można wykorzystać do sprawdzania zbieżności szeregów liczbowych:

1. Sprawdzenie, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności. Jeżeli:

\[\lim\limits_{n\to\infty} a_n\neq 0\]

to szereg jest rozbieżny (warunek konieczny pozwala stwierdzić jedynie czy szereg jest rozbieżny).

2. Obliczenie granicy ciągu sum częściowych szeregu \(S_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k\).

Szereg jest zbieżny, gdy jego ciąg sum częściowych jest zbieżny:

\[\sum\limits_{k=0}^\infty a_k=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=0}^n a_k=\lim\limits_{n\to \infty}S_n\]

3. Wykorzystanie jednego z kryteriów zbieżności szeregów:

(a) kryterium porównawcze

(b) kryterium ilorazowe

(c) kryterium Cauchy'ego

(d) kryterium d'Alemberta

(e) kryterium całkowe

(f) inne kryteria (m.in. Abela i Dirichleta)

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!