W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

 Rozwiń w szereg Fouriera funkcję \(f(x)\) na przedziale \([-\pi,\pi]\):

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1,&\textrm{dla}\,\,-\pi<x<0\\0,&\textrm{dla}\,\,x\in\{-\pi,0,\pi\}\\1,&\textrm{dla}\,\,0<x<\pi\end{array}\right.\]

Rozwiązanie

Funkcja spełnia warunki Dirichleta, ponieważ:

(1) przedział \([-\pi,\pi]\) można podzielić na skończoną ilość przedziałów takich, że funkcja \(f(x)\) jest ciągła i monotoniczna w każdym z nich (te przedziały to \([-\pi,0)\) i \([0,\pi]\))

(2) dla każdego \(x\in(-\pi,\pi)\) jest spełniony warunek:

\[f(x)=\frac{f(x_{-})+f(x_{+})}{2}=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}f(t)+\lim\limits_{t\to x_{+}}f(t)}{2}\]

a dla \(x=-\pi\) i \(x=\pi\):

\[f(-\pi)=f(\pi)=\frac{f(-\pi_{+})+f(\pi_{-})}{2}=\frac{\lim\limits_{x\to -\pi_{+}}f(x)+\lim\limits_{x\to \pi_{+}}f(x)}{2}\]

Dla \(-\pi<x<0\) mamy:

\[-1=f(x)=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}f(t)+\lim\limits_{t\to x_{+}}f(t)}{2}=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}(-1)+\lim\limits_{t\to x_{+}}(-1)}{2}=-1\]

Dla \(0<x<\pi\) mamy:

\[1=f(x)=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}f(t)+\lim\limits_{t\to x_{+}}f(t)}{2}=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}1+\lim\limits_{t\to x_{+}}1}{2}=1\]

Dla \(x=-\pi\) i \(x=\pi\) mamy:

\[0=f(-\pi)=f(\pi)=\frac{\lim\limits_{t\to -\pi_{+}}f(t)+\lim\limits_{t\to \pi_{-}}f(t)}{2}=\frac{-1+1}{2}=0\]

Dla \(x=0\) mamy:

\[0=f(0)=\frac{\lim\limits_{t\to 0_{-}}f(t)+\lim\limits_{t\to 0_{+}}f(t)}{2}=\frac{-1+1}{2}=0\]

Zatem możemy rozwinąć funkcję \(f(x)\) w szereg Fouriera, czyli:

\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg(a_n\cdot \cos\left(n\cdot x\right)+ b_n\cdot \sin\left(n\cdot x\right)\bigg)\]

gdzie:

\[a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\,dx\]

\[a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos\left(n\cdot x\right)\,dx\]

\[b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin\left(n\cdot x\right)\,dx\]

Obliczamy kolejne współczynniki.

Zauważ, że funkcja \(f(x)\) jest nieparzysta (\(f(-x)=-f(x)\)) dla \(x\in[-\pi,\pi]\), stąd z własności całek oznaczonych natychmiast widać, że \(a_0=0\).

Obliczenia wyglądają następująco:

\[a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\,dx=\frac{1}{\pi}\left(\int\limits_{-\pi}^0 -1\,dx+\int\limits_{0}^\pi 1\,dx\right)=0\]

Obliczamy \(a_n\) (korzystamy z parzystości funkcji \(\cos(x)\) dla \(x\in[-\pi,\pi]\), czyli faktu, że \(\cos(x)=\cos(-x)\)):

\[a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos\left(n\cdot x\right)\,dx=\frac{1}{\pi}\left(-\int\limits_{-\pi}^0 \cos\left(n\cdot x\right)\,dx+\int\limits_{0}^\pi \cos\left(n\cdot x\right)\,dx\right)=\]\[=\frac{1}{\pi}\left(-\int\limits_{0}^\pi \cos\big(n\cdot (-x)\big)\,dx+\int\limits_{0}^\pi \cos\left(n\cdot x\right)\,dx\right)=\]\[=\frac{1}{\pi}\left(-\int\limits_{0}^\pi \cos(n\cdot x)\,dx+\int\limits_0^\pi \cos(n\cdot x)\,dx\right)=0\]

Na koniec liczymy \(b_n\):

\[b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin\left(n\cdot x\right)\,dx=\frac{1}{\pi}\left(\int\limits_{-\pi}^0 -1\cdot \sin\left(n\cdot x\right)\,dx+\int\limits_{0}^\pi 1\cdot \sin\left(n\cdot x\right)\,dx\right)=\]\[=\frac{1}{\pi}\left(-\int\limits_{-\pi}^0\sin\left(n\cdot x\right)\,dx+\int\limits_{0}^\pi \sin\left(n\cdot x\right)\,dx\right)=\frac{1}{\pi}\left(\int\limits_{0}^\pi\sin\left(n\cdot x\right)\,dx+\int\limits_{0}^\pi \sin\left(n\cdot x\right)\,dx\right)=\]\[=\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^\pi\sin\left(n\cdot x\right)\,dx=-\frac{2}{\pi}\cdot \frac{1}{n}\cdot \bigg[\cos\left(n\cdot x\right)\bigg]_{x=0}^{x=\pi}=\]\[=-\frac{2}{n\pi}\cdot \bigg(\cos(n\cdot \pi)-\cos(0)\bigg)=-\frac{2}{n\pi}\cdot \bigg(\cos(n\cdot \pi)-1\bigg)=\frac{2(1-\cos(n\pi))}{n\pi}\]

Zauważmy, że dla \(n=1,2,3,...\) współczynniki \(b_n\) można zapisać w następującej postaci:

\[b_n=\frac{2(1-\cos(n\pi))}{n\pi}=\frac{2(1-(-1)^n)}{n\pi}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{4}{n\pi}&\textrm{dla n nieparzystych}\\0&\textrm{dla n parzystych}\end{array}\right.\]

Zatem szereg Fouriera jest następujący:

\[f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2(1-(-1)^n)}{n\cdot \pi} \sin(n\cdot x)=\]\[=\frac{2}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^n}{n} \sin(n\cdot x)=\frac{4}{\pi}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\sin\big((2n+1)\cdot x\big)}{2n+1}\]

Wskazówki i teoria

Funkcja \(f(x)\) spełnia warunki Dirichleta na przedziale \([-\pi,\pi]\), gdy:

1. Przedział \([-\pi,\pi]\) można podzielić na skończoną ilość przedziałów takich, że funkcja \(f(x)\) jest monotoniczna w każdym z nich

2. Dla każdego \(x\in(-\pi,\pi)\) funkcja jest równa średniej arytmetycznej granicy lewostronnej i prawostronnej w tym punkcie:

\[f(x)=\frac{f(x_{-})+f(x_{+})}{2}=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}f(t)+\lim\limits_{t\to x_{+}}f(t)}{2}\]

a dla \(x=-\pi\) i \(x=\pi\) funkcja jest równa średniej arytmetycznej granicy prawostronnej w punkcie \(-\pi\) i lewostronnej w punkcie \(\pi\):

\[f(-\pi)=f(\pi)=\frac{f(-\pi_{+})+f(\pi_{-})}{2}=\frac{\lim\limits_{x\to -\pi_{+}}f(x)+\lim\limits_{x\to \pi_{-}}f(x)}{2}\]

Jeżeli funkcja \(f(x)\) spełnia w przedziale \([-\pi,\pi]\) warunki Dirichleta, to posiada w tym przedziale rozwinięcie w szereg Fouriera (szereg trygonometryczny):

\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg(a_n\cdot \cos\left(n\cdot x\right)+ b_n\cdot \sin\left(n\cdot x\right)\bigg),\,\,x\in[-\pi,\pi]\]

gdzie:

\[a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\,dx\]

\[a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos\left(n\cdot x\right)\,dx\]

\[b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin\left(n\cdot x\right)\,dx\]

UWAGA 1: Gdy funkcja \(f(x)\) jest parzysta (czyli \(f(x)=f(-x)\)), to \(b_n=0\) dla każdego \(n=1,2,3,...\). Zatem rozwinięcie funkcji w szereg Foueria jest wtedy następujące:

\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\cdot \cos\left(n\cdot x\right),\,\,x\in[-\pi,\pi]\]

UWAGA 2: Gdy funkcja \(f(x)\) jest nieparzysta (czyli \(-f(x)=f(-x)\)), to \(a_n=0\) dla każdego \(n=0,1,2,3,...\). Zatem rozwinięcie funkcji w szereg Foueria jest wtedy następujące:

\[f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\cdot \sin\left(n\cdot x\right),\,\,x\in[-\pi,\pi]\]

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!