W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wykaż, że granica ciągu nie istnieje

\[\lim\limits_{n\to +\infty} (-1)^n\]

Rozwiązanie

Granica ciągu \(a_n=(-1)^n\) nie istnieje, ponieważ można wybrać dwa podciągi zbieżne do różnych granic.

Weźmy podciąg:

\[a_{2k}=(-1)^{2k}=1,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,k=1,2,3,...\]

wówczas:

\[\lim\limits_{k\to \infty} a_{2k}=\lim\limits_{k\to \infty} 1=1\]

Weźmy drugi podciąg:

\[a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}=-1,\,\,\, \textrm{dla}\,\,\,k=1,2,3,...\]

wówczas:

\[\lim\limits_{k\to \infty} a_{2k+1}=\lim\limits_{k\to \infty} (-1)=-1\]

Granice podciągów są różne, zatem granica ciągu \(a_n=(-1)^n\) nie istnieje.

Wskazówki

Jeżeli ciąg liczbowy jest zbieżny, to każdy jego podciąg nieskończony jest zbieżny do tej samej granicy. 

Jeżeli z ciągu liczbowego \(a_n\) można wybrać dwa podciągi nieskończone, zbieżne do różnych granic, to ciąg liczbowy \(a_n\) jest rozbieżny.

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!