W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz granicę ciągu liczbowego

Granice ciągów - zad. 3

Rozwiązanie

Jest to wzór, którego w zasadzie trzeba nauczyć się na pamięć:

Granice ciągów - zad. 3 - rozwiązanie

Na rysunku poniżej możesz zobaczyć zachowanie ciągu \(a_n=\sqrt[n]{n}\).
Wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\) ciąg \(a_n=\sqrt[n]{n}\) coraz bardziej zbliża się do liczby 1, dlatego właśnie \(\sqrt[n]{n}\to 1\), gdy \(n\to \infty\):

ciag liczbowy pierwiastek n tego stopnia z n

Wskazówki

Wyprowadzenie tego wzoru może wyglądać następująco:

\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=\lim\limits_{n\to \infty} e^{\ln(\sqrt[n]{n})}=\lim\limits_{n\to \infty} e^{\ln\left(n^{\frac{1}{n}}\right)}=\lim\limits_{n\to \infty} e^{\frac{\ln(n)}{n}}\]

Skorzystamy teraz z nierówności \(\ln n\le \sqrt{n}\) (którą można udowodnić przy użyciu indukcji matematycznej) oraz z faktu, że liczba Eulera \(e\approx 2,7182818\), czyli \(e^A\ge 1\), dla \(A\ge 0\).

Stąd dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), mamy:

\[1 \le e^{\frac{\ln(n)}{n}}\le e^{\frac{\sqrt{n}}{n}}=e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}\to e^0=1,\,\,gdy\,\,n\to\infty\]

ponieważ \(\frac{\ln n}{n}\ge 0\), dla \(n\in\mathbb{N}\) oraz \(\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0\), gdy \(n\to \infty\).

Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach mamy

\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1\]

Jak sobie radzić z granicami ciągów?

Jeżeli ciągi \(a_n\) i \(b_n\) są zbieżne do granic właściwych (skończonych liczb), to

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n+\lim\limits_{n\to \infty} b_n\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n-b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n-\lim\limits_{n\to \infty} b_n\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(c\cdot a_n)=c\cdot \lim\limits_{n\to \infty} a_n\), gdy \(c\in\mathbb{R}\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n\cdot b_n)=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)\cdot \left(\lim\limits_{n\to \infty}b_n\right) \)

\(\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}{\lim\limits_{n\to \infty} b_n}\), gdy \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n\neq 0\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n)^p=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)^p\),
gdy p jest liczbą całkowitą różną od zera

\(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}\),
gdy k jest liczbą naturalną różną od 1

Jak radzić sobie z nieskończonościami w granicach?

Granica ciągu: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,gdy\,\,-\infty<g\le \infty\) 

Granica ciągu: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Granica ciągu: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0

\(\frac{g}{\infty}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g<\infty\)

Granica ciągu: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"

\(\frac{g}{0}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g<\infty\)

Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1

\(g^{\infty}=0,\,\,gdy\,\,0<g<1\)

Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1

\(g^{\infty}=\infty,\,\,gdy\,\,1<g\le \infty\)

Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna

\(\infty^{g}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g< 0\)

Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia

\(\infty^{g}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    @Barbara Proszę w takim razie zaprezentować Pani "elementarny" sposób wyprowadzenia wzoru \(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1\), chętnie go poznam ;-)
  • Barbara
    Jakie logarytmy, po co?
    To sie udowadnia elementarnie.

Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!