W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Podaj wzór na granicę ciągu

Granice ciągów - zad. 2

Rozwiązanie

Jest to prosta granica, która wynosi:

Granice ciągów - zad. 2 - rozwiązanie

ponieważ podnoszenie ułamka mniejszego od 1 do coraz wyższych potęg \(n\), daje coraz mniejsze liczby, dlatego w granicy otrzymujemy liczbę 0.

Na rysunku poniżej widać zachowanie ciągu \(a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n\), czyli dla \(q=\frac{1}{2}\). Podobnie jak na poniższym rysunku zachowują się wszystkie ciągi postaci \(a_n=q^n\), gdzie \(0<q<1\). Wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\) ciąg \(a_n\) coraz bardziej zbliża się do zera:

ciag liczbowy 1 przez 2 do potegi n

Na drugim rysunku widać zachowanie ciągu \(a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n\), czyli dla \(q=-\frac{1}{2}\). Podobnie jak na poniższym rysunku zachowują się wszystkie ciągi postaci \(a_n=q^n\), gdzie \(-1<q<0\). Wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\) ciąg \(a_n\) coraz bardziej zbliża się do liczby 0 (tym razem przyjmując na przemian wartości ujemne i dodatnie):

ciag liczbowy minus 1 przez 2 do potegi n

Wskazówki

\(|q|\) jest mniejszy od 1, więc liczymy granicę z ułamka niewłaściwego do potęgi n-tej.

Im większa wartość indeksu n, tym bliższej zera jest wartość ciągu \(a_n=q^n\).

Jak sobie radzić z granicami ciągów?

Jeżeli ciągi \(a_n\) i \(b_n\) są zbieżne do granic właściwych (skończonych liczb), to

\[\lim\limits_{n\to \infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n+\lim\limits_{n\to \infty} b_n\]

\[\lim\limits_{n\to \infty}(a_n-b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n-\lim\limits_{n\to \infty} b_n\]

\(\lim\limits_{n\to \infty}(c\cdot a_n)=c\cdot \lim\limits_{n\to \infty} a_n\), gdy \(c\in\mathbb{R}\)

\[\lim\limits_{n\to \infty}(a_n\cdot b_n)=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)\cdot \left(\lim\limits_{n\to \infty}b_n\right)\]

\(\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}{\lim\limits_{n\to \infty} b_n}\), gdy \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n\neq 0\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n)^p=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)^p\),
gdy p jest liczbą całkowitą różną od zera

\(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}\),
gdy k jest liczbą naturalną różną od 1

Jak radzić sobie z nieskończonościami w granicach?

Granica ciągu: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,gdy\,\,-\infty<g\le \infty\) 

Granica ciągu: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Granica ciągu: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0

\(\frac{g}{\infty}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g<\infty\)

Granica ciągu: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"

\(\frac{g}{0}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g<\infty\)

Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1

\(g^{\infty}=0,\,\,gdy\,\,0<g<1\)

Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1

\(g^{\infty}=\infty,\,\,gdy\,\,1<g\le \infty\)

Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna

\(\infty^{g}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g< 0\)

Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia

\(\infty^{g}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!