W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Podaj przykład ciągu rosnącego o wyrazach

(a) dodatnich
(b) ujemnych

Rozwiązanie

Ciąg liczbowy jest rosnący, gdy dla każdego \(n\in \mathbb{N}\):

\[a_{n+1}>a_n\]

Każdy następny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego.

(a) Przykładem ciągu rosnącego o wyrazach dodatnich jest ciąg kolejnych liczb naturalnych:

\[a_n=n\]

ponieważ każda liczba naturalna jest dodatnia i większa od poprzedniej:

\[a_1=1<a_2=2<a_3=3<a_4=4<...\]

zatem:

\[a_{n+1}=n+1>n=a_n\]

Inne przykłady ciągów rosnących o wyrazach dodatnich:

Przykład 2

\[b_n=n^2\]

ponieważ

\[b_{n+1}=(n+1)^2>n^2=b_n\]

Przykład 3

\[c_n=n!\]

ponieważ

\[c_{n+1}=(n+1)!=n!\cdot (n+1)>n!=c_n\]

(b) Przykładem ciągu rosnącego o wyrazach ujemnych jest ciąg:

\[a_n=-\frac{1}{n}\]

ponieważ wszystkie wyrazy tego ciągu są ujemne i rosną wraz ze wzrostem \(n\):

\[a_1=-1<a_2=-\frac{1}{2}<a_3=-\frac{1}{3}<a_4=-\frac{1}{4}<...\]

zatem:

\[a_{n+1}=-\frac{1}{n+1}>-\frac{1}{n}=a_n\]

Inne przykłady ciągów rosnących o wyrazach ujemnych:

Przykład 2

\[b_n=-\frac{1}{n^2}\]

ponieważ

\[b_{n+1}=-\frac{1}{(n+1)^2}>-\frac{1}{n^2}=b_n\]

Przykład 3

\[c_n=-\frac{1}{n!}\]

ponieważ

\[b_{n+1}=-\frac{1}{(n+1)!}=-\frac{1}{n!\cdot (n+1)}>-\frac{1}{n!}=c_n\]

Wskazówki

Ciągi monotoniczne

Monotoniczność ciągu oznacza, że ciąg jest stały lub rosnący lub niemalejący lub malejący lub nierosnący.

Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest stały, gdy jego wyrazy pozostają takie same wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1=a_2=a_3=...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi równość) \[a_n=a_{n+1}\]

Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest rosnący, gdy jego wyrazy zwiększają się wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1<a_2<a_3<...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n< a_{n+1}\]

Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest niemalejący, gdy jego wyrazy zwiększają się lub pozostają niezmienione (równe) wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1\le a_2\le a_3\le...\]czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\le a_{n+1}\]

Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest malejący, gdy jego wyrazy zmniejszają się wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1>a_2>a_3>...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n> a_{n+1}\]

Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest nierosnący, gdy jego wyrazy zmniejszają się ub pozostają niezmienione (równe) wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1\ge a_2\ge a_3\ge ...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\ge a_{n+1}\]

Istnieje też pojęcie monotoniczności w ścisłym sensie, co oznacza, że ciąg jest rosnący lub malejący.

Jak sprawdzić monotoniczność ciągu w praktyce?

Monotoniczność ciągu \((a_n)\) możesz ustalić analizując znak różnicy\[a_{n+1}-a_n\]lub, gdy ciąg \(a_n\) ma wyrazy dodatnie badając relację między liczbą 1, a  wyrażeniem\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\]Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, gdy\[a_{n+1}-a_n>0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\]Ciąg \((a_n)\) jest niemalejący, gdy\[a_{n+1}-a_n\ge 0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\]Ciąg \((a_n)\) jest malejący, gdy\[a_{n+1}-a_n<0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\]Ciąg \((a_n)\) jest nierosnący, gdy\[a_{n+1}-a_n\le 0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1\]

 

Komentarzy (0)