W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Na podstawie kilku początkowych wyrazów ciągu znaleźć jego wzór ogólny

\[(a_n)=\left(-1,-\frac{1}{3},-\frac{1}{9},-\frac{1}{27},...\right)\]

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy następny wyraz naszego ciągu liczbowego jest trzy razy mniejszy od poprzedniego,

dlatego nasz ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie równym \(\frac{1}{3}\).

Mamy:

\[a_1=-1,\,\,q=\frac{1}{3}\]

Stąd:

\[a_n=a_1\cdot q^{n-1}=(-1)\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=-\frac{1}{3^{n-1}}\]

Odp. Wyraz ogólny naszego ciągu jest postaci \(a_n=-\frac{1}{3^{n-1}}\)

Wskazówki

Ciąg geometryczny

Przepis na n-ty wyraz ciągu:

\[a_{n+1}=a_n\cdot q\]

stąd

\[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}\]

Każdy następny wyraz ciągu geometrycznego powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez liczbę \(q\).

Liczbę \(q\) nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:

\[a_n=a_1\cdot q^{n-1}=a_k\cdot q^{n-k}\]

Kluczowa własność ciągu arytmetycznego:

\[a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\]

lub równoważnie

\[a^2_n={a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\]

Środkowy wyraz jest średnią geometryczną wyrazów skrajnych (poprzedniego i następnego).

Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (n-ta suma):

\[S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q},\,\,q\neq 1\]

lub

\[S_n=n\cdot a_1,\,\,q=1\]

Ciąg geometryczny jest:

  • rosnący, gdy \(a_1>0\) i \(q>1\) lub \(a_1<0\) \(0<q<1\)
  • malejący, gdy \(a_1<0\) i \(q>1\) lub \(a_1>0\) \(0<q<1\)
  • stały, gdy \(q=1\)
  • naprzemienny, gdy \(q=-1\)

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!