W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Na podstawie kilku początkowych wyrazów ciągu znaleźć jego wzór ogólny

\[(a_n)=(-1,2,5,8,11,...)\]

Rozwiązanie

Zauważmy, że różnice między kolejnymi wyrazami naszego ciągu liczbowego są stałe i równe 3,

dlatego nasz ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Mamy:

\[a_1=-1,\,\,r=3\]

Stąd:

\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=-1+(n-1)\cdot 3=-1+3n-3=3n-4\]

Odp. Wyraz ogólny ciągu jest postaci \(a_n=3n-4\)

Wskazówki

Ciąg arytmetyczny jest ciągiem, którego wyrazy różnią się o stałą liczbę \(r\), którą nazywamy różnicą ciągu.

Oznaczenia:

\(a_n\) - n-ty wyraz ciągu

\(a_1\) - pierwszy wyraz ciągu

\(r\) - różnica ciągu arytmetycznego

Przepis na n-ty wyraz ciągu:

\[a_{n+1}=a_n+r\]

każdy następny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego wyrazu ustalonej liczby \(r\).

Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=a_k+(n-k)\cdot r\]

Kluczowa własność ciągu arytmetycznego:

\[a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\]

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (n-ta suma):

\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n\]

Ciąg arytmetyczny jest monotoniczny, a dokładniej jest:

  • rosnący, gdy \(r>0\)
  • malejący, gdy \(r<0\)
  • stały, gdy \(r=0\)

 

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    @Andrzelika Dziękuję za czujność, błąd już poprawiony. Pozdrawiam
  • Andrzelika
    Dzień dobry, dlaczego w obliczaniu wyrazu ogólnego ciągu (pierwszy wynik) 3*( -1) = -2 ?