W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Na podstawie kilku początkowych wyrazów ciągu znajdź jego wzór ogólny

\[(a_n)=(6,4,2,0,-2,...)\]

Rozwiązanie

Zauważmy, że różnice między kolejnymi wyrazami naszego ciągu liczbowego są stałe i równe -2,

dlatego nasz ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Mamy:

\[a_1=6,\,\,r=-2\]

Stąd:

\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=6+(n-1)\cdot (-2)=6-2n+2=-2n+8\]

Odp. Wyraz ogólny ciągu jest postaci \(a_n=-2n+8\)

Wskazówki

Ciąg arytmetyczny jest ciągiem, którego wyrazy różnią się o stałą liczbę \(r\), którą nazywamy różnicą ciągu.

Oznaczenia:

\(a_n\) - n-ty wyraz ciągu

\(a_1\) - pierwszy wyraz ciągu

\(r\) - różnica ciągu arytmetycznego

Przepis na n-ty wyraz ciągu:

\[a_{n+1}=a_n+r\]

każdy następny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego wyrazu ustalonej liczby \(r\).

Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=a_k+(n-k)\cdot r\]

Kluczowa własność ciągu arytmetycznego:

\[a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\]

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (n-ta suma):

\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n\]

Ciąg arytmetyczny jest monotoniczny, a dokładniej jest:

  • rosnący, gdy \(r>0\)
  • malejący, gdy \(r<0\)
  • stały, gdy \(r=0\)

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!