W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Korzystając z Tw. Weierstrassa uzasadnij zbieżność bezwzględną i jednostajną szeregu funkcyjnego

Szeregi funkcyjne - zad. 9

Rozwiązanie

Szeregi funkcyjne - zad. 9 - rozwiązanie

Wskazówki:

  1. \(x\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\), więc \(x\le\frac{1}{2}\), a stąd wynika, że \(|x|^n\le\left(\frac{1}{2}\right)^n\)
  2. Liczymy granicę \(\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}\), która wynosi \(\frac{1}{2}\).
    Zatem na mocy kryterium Cauchy'ego szereg liczbowy jest zbieżny.
  3. Twierdzenie Weierstrassa o zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego:
    Jeżeli \(|f_n(x)|\le a_n\) dla \(x\in X\) i szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny, to szereg funkcyjny \(\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)\) jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie dla \(x\in X\).

 

Komentarzy (0)