W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Korzystając z kryterium d'Alemberta zbadaj zbieżność szeregu

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}\]

Rozwiązanie

Korzystając z kryterium d'Alemberta wykażemy, że \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}\) jest zbieżny.

Mamy:

\[\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}}{\frac{n!}{n^n}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}\frac{n^n}{n!}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{{n!}{(n+1)}}{(n+1)^{n}{(n+1)}}\frac{n^n}{{n!}}=\]

\[=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{\frac{(n+1)^n}{n^n}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}<1\]

ponieważ:

\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\approx 2,7183\]

Zatem na mocy kryterium d'Alemberta nasz szereg jest zbieżny.

Wskazówki

Pamiętajmy, że:

\[n!=1\cdot 2\cdot 3\,\cdot \,...\,\cdot\, n\]

\[(n+1)!=n!\cdot (n+1)\]

Liczba \(e\) jest stałą Eulera:

\[e\approx 2,7183\]

Kryterium d'Alemberta

Szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest:
(a) zbieżny, gdy \[\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1\](b) rozbieżny, gdy\[\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1\]

Jak sprawdzić, czy szereg liczbowy jest zbieżny?

 Oto metody, które możesz wykorzystać do sprawdzania zbieżności szeregów:

1. Sprawdzenie, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności.

Jeżeli:

\[\lim\limits_{n\to\infty} a_n\neq 0\]

to szereg liczbowy jest rozbieżny (zwróć uwagę, że warunek konieczny pozwala stwierdzić jedynie, czy szereg jest rozbieżny).

2. Obliczenie (gdy to możliwe) granicy ciągu sum częściowych szeregu \(S_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k\).

Szereg jest zbieżny, gdy jego ciąg sum częściowych jest zbieżny, ponieważ:

\[\sum\limits_{k=0}^\infty a_k=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=0}^n a_k=\lim\limits_{n\to \infty}S_n\]

Gdy uda nam się obliczyć granicę ciągu sum częściowych, to będzie ona równa sumie szeregu.

Gdy granica będzie skończona (równa jakiejś liczbie), to szereg jest zbieżny, gdy granica nie istnieje lub jest równa \(-\infty\) lub \(+\infty\), to szereg jest rozbieżny.

3. Wykorzystanie jednego z kryteriów zbieżności szeregów:

(a) kryterium porównawcze

(b) kryterium ilorazowe

(c) kryterium Cauchy'ego

(d) kryterium d'Alemberta

(e) kryterium całkowe

(f) inne kryteria (m.in. Abela i Dirichleta)

 

Komentarzy (0)