NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wykaż, że szereg liczbowy jest rozbieżny

\[\sum\limits_{n=1}^\infty n=1+2+3+\,...\]

Rozwiązanie

Zadanie to można rozwiązać na kilka sposobów:

I sposób

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu:

\[\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=\lim\limits_{n\to +\infty} n=+\infty\neq 0\]

Warunek konieczny nie jest spełniony, zatem szereg liczbowy jest rozbieżny.

II sposób

Szereg \(\sum\limits_{n=1}^\infty n\) jest rozbieżny, ponieważ jest sumą kolejnych liczb naturalnych. 

Obliczmy granicę ciągu sum częściowych tego szeregu, w tym celu zastosujemy wzór na sumę \(k\) kolejnych liczb naturalnych:

\[\lim\limits_{k\to +\infty} S_k=\lim\limits_{k\to +\infty}(1+2+...+k)=\lim\limits_{k\to +\infty} \frac{k(k+1)}{2}=+\infty\]

Ostatecznie:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty n=\lim\limits_{k\to\infty}S_k+\infty\]

Wskazówki

Jak sprawdzić, czy szereg liczbowy jest zbieżny lub rozbieżny?

 Oto sposoby, które możesz wykorzystać do sprawdzania zbieżności szeregów:

1. Sprawdzenie, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności.

Jeżeli:

\[\lim\limits_{n\to\infty} a_n\neq 0\]

to szereg liczbowy jest rozbieżny (zwróć uwagę, że warunek konieczny pozwala stwierdzić jedynie, czy szereg jest rozbieżny).

2. Obliczenie (gdy to możliwe) granicy ciągu sum częściowych szeregu \(S_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k\).

Szereg jest zbieżny, gdy jego ciąg sum częściowych jest zbieżny, ponieważ:

\[\sum\limits_{k=0}^\infty a_k=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=0}^n a_k=\lim\limits_{n\to \infty}S_n\]

Gdy uda nam się obliczyć granicę ciągu sum częściowych, to będzie ona równa sumie szeregu.

Gdy granica będzie skończona (równa jakiejś liczbie), to szereg jest zbieżny, gdy granica nie istnieje lub jest równa \(-\infty\) lub \(+\infty\), to szereg jest rozbieżny.

3. Wykorzystanie jednego z kryteriów zbieżności szeregów:

(a) kryterium porównawcze

(b) kryterium ilorazowe

(c) kryterium Cauchy'ego

(d) kryterium d'Alemberta

(e) kryterium całkowe

(f) inne kryteria (m.in. Abela i Dirichleta)

 

Komentarzy (0)