W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wykaż, że dla \(|q|<1\) zbieżny jest szereg geometryczny

\[\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3\,+\,...\]

Rozwiązanie

Zadanie to można rozwiązać na kilka sposobów.

Zacznijmy od sprawdzenia, dla jakich wartości \(q\) spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregów:

\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\lim\limits_{n\to \infty} q^n=\left\{\begin{array}{cc}0,&\textrm{gdy}\,\,|q|<1\\1,&\textrm{gdy}\,\,q=1\\+\infty,&\textrm{gdy}\,\,q>1\\\textrm{nie istnieje},&\textrm{gdy}\,\,q\le -1\end{array}\right.\]

Warunek konieczny jest spełniony dla \(|q|<1\), zatem tylko dla takich wartości \(q\) szereg geometryczny może być zbieżny.

Dla \(q\in(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)\) szereg jest rozbieżny.

Zbadajmy teraz czy dla wszystkich \(|q|<1\) szereg geometryczny \(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n\) jest zbieżny.

I sposób

Obliczmy granicę ciągu sum częściowych szeregu:

\[S_k=1+q+q^2+q^3\,+\,...\,+\,q^k\]

Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, mamy:

\[S_k=1+q+q^2+q^3\,+\,...\,+\,q^k=\frac{1-q^n}{1-q}\]

ponadto dla \(|q|<1\):

\[\lim\limits_{k\to\infty}q^k=0\]

Zatem:

\[\lim\limits_{k\to \infty}S_k=\lim\limits_{k\to \infty}\frac{1-q^k}{1-q}=\frac{1}{1-q}<\infty\]

Co oznacza, że szereg geometryczny jest zbieżny:

\[\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3\,+\,...\,=\frac{1}{1-q}<\infty\]

II sposób

Przez zastosowanie kryteriów zbieżności szeregów liczbowych:

(a) Kryterium Cauchy'ego:

\[\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{|q^n|}=\lim\limits_{n\to \infty} |q|=|q|<1\]

Zatem, szereg jest zbieżny dla \(|q|<1\).

(b) Kryterium d'Alemberta:

\[\lim\limits_{n\to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to \infty} \left|\frac{q^{n+1}}{q^n}\right|=\lim\limits_{n\to \infty} |q|=|q|<1\]

Zatem, szereg jest zbieżny dla \(|q|<1\).

Można zastosować też inne kryteria (np. całkowe).

Wskazówki

Jak sprawdzić, czy szereg liczbowy jest zbieżny lub rozbieżny?

 Oto sposoby, które możesz wykorzystać do sprawdzania zbieżności szeregów:

1. Sprawdzenie, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności.

Jeżeli:

\[\lim\limits_{n\to\infty} a_n\neq 0\]

to szereg liczbowy jest rozbieżny (zwróć uwagę, że warunek konieczny pozwala stwierdzić jedynie, czy szereg jest rozbieżny).

2. Obliczenie (gdy to możliwe) granicy ciągu sum częściowych szeregu \(S_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k\).

Szereg jest zbieżny, gdy jego ciąg sum częściowych jest zbieżny, ponieważ:

\[\sum\limits_{k=0}^\infty a_k=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=0}^n a_k=\lim\limits_{n\to \infty}S_n\]

Gdy uda nam się obliczyć granicę ciągu sum częściowych, to będzie ona równa sumie szeregu.

Gdy granica będzie skończona (równa jakiejś liczbie), to szereg jest zbieżny, gdy granica nie istnieje lub jest równa \(-\infty\) lub \(+\infty\), to szereg jest rozbieżny.

3. Wykorzystanie jednego z kryteriów zbieżności szeregów:

(a) kryterium porównawcze

(b) kryterium ilorazowe

(c) kryterium Cauchy'ego

(d) kryterium d'Alemberta

(e) kryterium całkowe

(f) inne kryteria (m.in. Abela i Dirichleta)

 

Komentarzy (0)