W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego

Szeregi liczbowe - zad. 3

Rozwiązanie

Sprawdzimy, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych:

Szeregi liczbowe - zad. 3 - rozwiązanie

Wskazówki do zadania

Granica ciągu \(a_n=(-1)^n\) nie istnieje, ponieważ można wybrać dwa podciągi zbieżne do różnych granic.

Weźmy podciąg \(a_{2k}=(-1)^{2k}=1\), dla \(k=1,2,3,...\), wówczas:

\[\lim\limits_{k\to \infty} a_{2k}=\lim\limits_{k\to \infty} 1=1\]

Weźmy podciąg \(a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}=-1\), dla \(k=1,2,3,...\), wówczas:

\[\lim\limits_{k\to \infty} a_{2k+1}=\lim\limits_{k\to \infty} (-1)=-1\]

Granice podciągów są różne, więc granica ciągu \(a_n=(-1)^n\) nie istnieje.

Warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych

Jeżeli \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n\neq 0\) lub \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n\) nie istnieje, to szereg \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest rozbieżny.

 Jak sprawdzić, czy szereg liczbowy jest zbieżny?

 Oto podstawowe metody, które można wykorzystać do sprawdzania zbieżności szeregów liczbowych:

1. Sprawdzenie, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności. Jeżeli:

\[\lim\limits_{n\to\infty} a_n\neq 0\]

to szereg jest rozbieżny (warunek konieczny pozwala stwierdzić jedynie czy szereg jest rozbieżny).

2. Obliczenie granicy ciągu sum częściowych szeregu \(S_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k\).

Szereg jest zbieżny, gdy jego ciąg sum częściowych jest zbieżny:

\[\sum\limits_{k=0}^\infty a_k=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=0}^n a_k=\lim\limits_{n\to \infty}S_n\]

3. Wykorzystanie jednego z kryteriów zbieżności szeregów:

(a) kryterium porównawcze

(b) kryterium ilorazowe

(c) kryterium Cauchy'ego

(d) kryterium d'Alemberta

(e) kryterium całkowe

(f) inne kryteria (m.in. Abela i Dirichleta)

 

Komentarzy (0)