W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz granicę ciągu liczbowego

\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\]

Rozwiązanie

Skorzystamy z własności potęg, z własności granic ciągów (granica ilorazu jest ilorazem granic) oraz z podstawowego wzoru na granicę ciągu \(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1\):

\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{1}=1\]

Wskazówki

Własności potęg użyte w rozwiązaniu:

\[\left(\frac{a}{b}\right)^c=\frac{a^c}{b^c}\]

\[\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\]

Własności granic ciągów

Jeżeli ciągi \(a_n\) i \(b_n\) są zbieżne do granic właściwych (skończonych liczb), to

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n+\lim\limits_{n\to \infty} b_n\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n-b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n-\lim\limits_{n\to \infty} b_n\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(c\cdot a_n)=c\cdot \lim\limits_{n\to \infty} a_n\), gdy \(c\in\mathbb{R}\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n\cdot b_n)=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)\cdot \left(\lim\limits_{n\to \infty}b_n\right) \)

\(\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}{\lim\limits_{n\to \infty} b_n}\), gdy \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n\neq 0\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n)^p=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)^p\),
gdy p jest liczbą całkowitą różną od zera

\(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}\),
gdy k jest liczbą naturalną różną od 1

UWAGA: Powyższe własności są prawdziwe tylko dla granic właściwych (czyli liczbowych), nie są one natomiast prawdziwe dla granic niewłaściwych (czyli nieskończonych \(-\infty\) oraz \(+\infty\)), np.

\[\lim\limits_{n\to \infty} (n^2-n)\neq \lim\limits_{n\to \infty}n^2-\lim\limits_{n\to \infty}n\]

ponieważ:

\[\lim\limits_{n\to \infty} (n^2-n)=\lim\limits_{n\to \infty} n\cdot (n-1)=[\infty\cdot \infty]=\infty\]

\[\lim\limits_{n\to \infty}n^2-\lim\limits_{n\to \infty} n=[\infty-\infty]\,-\,\textrm{nie istnieje!}\]

 

Komentarzy (0)