W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz granicę ciągu

\[\lim\limits_{n\to \infty} (n^2-n)\]

Rozwiązanie

Aby obliczyć tą granicę musimy wyciągnąć najwyższą potęgę (czyli \(n^2\)) przed nawias:

\[\lim\limits_{n\to \infty} (n^2-n)=\lim\limits_{n\to \infty}n^2\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)=[\infty\cdot 1]=\infty\]

UWAGA

Błędem byłoby zastosowanie własności, że granica różnicy ciągów jest równa różnicy granic, czyli:

\[\lim\limits_{n\to \infty} (n^2-n)\neq \lim\limits_{n\to \infty}n^2-\lim\limits_{n\to \infty}n\]

Własność tą można stosować tylko w przypadku granic właściwych (czyli gdy granice są równe wartościom liczbowym).

Zapamiętaj, że:

\[\lim\limits_{n\to \infty}n^2-\lim\limits_{n\to \infty} n=[\infty-\infty]\,-\,\textrm{nie istnieje!}\]

innymi słowy wyrażenie \([\infty-\infty]\) jest symbolem nieoznaczonym.

Nieskończoności w granicach - jak to policzyć?

Granica ciągu: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,gdy\,\,-\infty<g\le \infty\) 

Granica ciągu: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Granica ciągu: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0

\(\frac{g}{\infty}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g<\infty\)

Granica ciągu: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"

\(\frac{g}{0}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g<\infty\)

Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1

\(g^{\infty}=0,\,\,gdy\,\,0<g<1\)

Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1

\(g^{\infty}=\infty,\,\,gdy\,\,1<g\le \infty\)

Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna

\(\infty^{g}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g< 0\)

Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia

\(\infty^{g}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Komentarzy (0)