W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz granicę ciągu liczbowego

Granice ciągów - zad. 3

Rozwiązanie

Jest to wzór, którego w zasadzie trzeba nauczyć się na pamięć:

Granice ciągów - zad. 3 - rozwiązanie

Na rysunku poniżej możesz zobaczyć zachowanie ciągu \(a_n=\sqrt[n]{n}\).
Wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\) ciąg \(a_n=\sqrt[n]{n}\) coraz bardziej zbliża się do liczby 1, dlatego właśnie \(\sqrt[n]{n}\to 1\), gdy \(n\to \infty\):

ciag liczbowy pierwiastek n tego stopnia z n

Wskazówki

Wyprowadzenie tego wzoru może wyglądać następująco:

\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=\lim\limits_{n\to \infty} e^{\ln(\sqrt[n]{n})}=\lim\limits_{n\to \infty} e^{\ln\left(n^{\frac{1}{n}}\right)}=\lim\limits_{n\to \infty} e^{\frac{\ln(n)}{n}}\]

Skorzystamy teraz z nierówności \(\ln n\le \sqrt{n}\) (którą można udowodnić przy użyciu indukcji matematycznej) oraz z faktu, że liczba Eulera \(e\approx 2,7182818\), czyli \(e^A\ge 1\), dla \(A\ge 0\).

Stąd dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), mamy:

\[1 \le e^{\frac{\ln(n)}{n}}\le e^{\frac{\sqrt{n}}{n}}=e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}\to e^0=1,\,\,gdy\,\,n\to\infty\]

ponieważ \(\frac{\ln n}{n}\ge 0\), dla \(n\in\mathbb{N}\) oraz \(\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0\), gdy \(n\to \infty\).

Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach mamy

\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1\]

Jak sobie radzić z granicami ciągów?

Jeżeli ciągi \(a_n\) i \(b_n\) są zbieżne do granic właściwych (skończonych liczb), to

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n+\lim\limits_{n\to \infty} b_n\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n-b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n-\lim\limits_{n\to \infty} b_n\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(c\cdot a_n)=c\cdot \lim\limits_{n\to \infty} a_n\), gdy \(c\in\mathbb{R}\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n\cdot b_n)=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)\cdot \left(\lim\limits_{n\to \infty}b_n\right) \)

\(\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}{\lim\limits_{n\to \infty} b_n}\), gdy \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n\neq 0\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n)^p=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)^p\),
gdy p jest liczbą całkowitą różną od zera

\(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}\),
gdy k jest liczbą naturalną różną od 1

Jak radzić sobie z nieskończonościami w granicach?

Granica ciągu: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,gdy\,\,-\infty<g\le \infty\) 

Granica ciągu: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Granica ciągu: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0

\(\frac{g}{\infty}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g<\infty\)

Granica ciągu: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"

\(\frac{g}{0}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g<\infty\)

Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1

\(g^{\infty}=0,\,\,gdy\,\,0<g<1\)

Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1

\(g^{\infty}=\infty,\,\,gdy\,\,1<g\le \infty\)

Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna

\(\infty^{g}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g< 0\)

Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia

\(\infty^{g}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Komentarzy (2)

  • Sebastian
    @Barbara Proszę w takim razie zaprezentować Pani "elementarny" sposób wyprowadzenia wzoru \(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1\), chętnie go poznam ;-)
  • Barbara
    Jakie logarytmy, po co?
    To sie udowadnia elementarnie.