W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Podaj wzór na granicę ciągu

Granice ciągów - zad. 2

Rozwiązanie

Jest to prosta granica, która wynosi:

Granice ciągów - zad. 2 - rozwiązanie

ponieważ podnoszenie ułamka mniejszego od 1 do coraz wyższych potęg \(n\), daje coraz mniejsze liczby, dlatego w granicy otrzymujemy liczbę 0.

Na rysunku poniżej widać zachowanie ciągu \(a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n\), czyli dla \(q=\frac{1}{2}\). Podobnie jak na poniższym rysunku zachowują się wszystkie ciągi postaci \(a_n=q^n\), gdzie \(0<q<1\). Wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\) ciąg \(a_n\) coraz bardziej zbliża się do zera:

ciag liczbowy 1 przez 2 do potegi n

Na drugim rysunku widać zachowanie ciągu \(a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n\), czyli dla \(q=-\frac{1}{2}\). Podobnie jak na poniższym rysunku zachowują się wszystkie ciągi postaci \(a_n=q^n\), gdzie \(-1<q<0\). Wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\) ciąg \(a_n\) coraz bardziej zbliża się do liczby 0 (tym razem przyjmując na przemian wartości ujemne i dodatnie):

ciag liczbowy minus 1 przez 2 do potegi n

Wskazówki

\(|q|\) jest mniejszy od 1, więc liczymy granicę z ułamka niewłaściwego do potęgi n-tej.

Im większa wartość indeksu n, tym bliższej zera jest wartość ciągu \(a_n=q^n\).

Jak sobie radzić z granicami ciągów?

Jeżeli ciągi \(a_n\) i \(b_n\) są zbieżne do granic właściwych (skończonych liczb), to

\[\lim\limits_{n\to \infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n+\lim\limits_{n\to \infty} b_n\]

\[\lim\limits_{n\to \infty}(a_n-b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n-\lim\limits_{n\to \infty} b_n\]

\(\lim\limits_{n\to \infty}(c\cdot a_n)=c\cdot \lim\limits_{n\to \infty} a_n\), gdy \(c\in\mathbb{R}\)

\[\lim\limits_{n\to \infty}(a_n\cdot b_n)=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)\cdot \left(\lim\limits_{n\to \infty}b_n\right)\]

\(\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}{\lim\limits_{n\to \infty} b_n}\), gdy \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n\neq 0\)

\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n)^p=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)^p\),
gdy p jest liczbą całkowitą różną od zera

\(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}\),
gdy k jest liczbą naturalną różną od 1

Jak radzić sobie z nieskończonościami w granicach?

Granica ciągu: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,gdy\,\,-\infty<g\le \infty\) 

Granica ciągu: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Granica ciągu: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0

\(\frac{g}{\infty}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g<\infty\)

Granica ciągu: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"

\(\frac{g}{0}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g<\infty\)

Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1

\(g^{\infty}=0,\,\,gdy\,\,0<g<1\)

Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1

\(g^{\infty}=\infty,\,\,gdy\,\,1<g\le \infty\)

Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna

\(\infty^{g}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g< 0\)

Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia

\(\infty^{g}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Komentarzy (0)