W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Na podstawie kilku początkowych wyrazów ciągu znaleźć jego wzór ogólny

\[(a_n)=(2,4,8,16,...)\]

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy następny wyraz naszego ciągu liczbowego jest dwa razy większy od poprzedniego,

dlatego nasz ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie równym 2.

Mamy:

\[a_1=2,\,\,q=2\]

Stąd:

\[a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{n-1}=2^n\]

Odp. Wyraz ogólny naszego ciągu jest postaci \(a_n=2^n\)

Wskazówki

Ciąg geometryczny

Przepis na n-ty wyraz ciągu:

\[a_{n+1}=a_n\cdot q\]

Każdy następny wyraz ciągu geometrycznego powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez liczbę \(q\).

Liczbę \(q\) nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:

\[a_n=a_1\cdot q^{n-1}=a_k\cdot q^{n-k}\]

Kluczowa własność ciągu arytmetycznego:

\[a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\]

lub równoważnie

\[a^2_n={a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\]

Środkowy wyraz jest średnią geometryczną wyrazów skrajnych (poprzedniego i następnego).

Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (n-ta suma):

\[S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q},\,\,q\neq 1\]

lub

\[S_n=n\cdot a_1,\,\,q=1\]

Ciąg geometryczny jest:

  • rosnący, gdy \(a_1>0\) i \(q>1\) lub \(a_1<0\) \(0<q<1\)
  • malejący, gdy \(a_1<0\) i \(q>1\) lub \(a_1>0\) \(0<q<1\)
  • stały, gdy \(q=1\)
  • naprzemienny, gdy \(q=-1\)

 

Komentarzy (0)