W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz całkę oznaczoną

Całka oznaczona - zad. 3

Rozwiązanie

Obliczenie całki oznaczonej sprowadza się tak naprawdę do obliczenia całki nieoznaczonej i następnie wyliczenie wartości otrzymanych funkcji w granicach całkowania:

Całka oznaczona - zad. 3 - rozwiązanie

 Wskazówki

  1. Korzystamy z własności całki oznaczonej, która polega na tym, że całka sumy dwóch (lub więcej) funkcji jest równa sumie całek każdej funkcji z osobna, dodatkowo stałe możemy wyciągać przed całkę, tzn.
    \(\int (af(x)+bg(x))\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx\),
    gdzie a i b to dowolne stałe (liczby rzeczywiste), f(x) i g(x) o funkcje
    UWAGA: Wspomniane powyżej własności nazywają się fachowo liniowością całki (czyli addytywnością i jednorodnością).
  2. Korzystamy z podstawowego wzoru na całkę nieoznaczoną funkcji elementarnej:
    \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)
    stąd np. \(\int \sqrt[3]{x^2}\,dx=\int x^{\frac{2}{3}}\,dx=\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+c=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+c\)
  3. Pamiętamy o obliczeniu różnic wartości otrzymanych funkcji w punktach równych 0 i 1, zgodnie z definicją całki oznaczonej
    \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\)
    gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), czyli
    \(F(x)=\int f(x)\,dx\)
      

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!