W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wyprowadź wzór na całkowanie przez części

\[\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx\]

Rozwiązanie

Całkowanie przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji. Mamy:

\[(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]

Przenieśmy wyrażenie \(f(x)g'(x)\) na lewą stronę równości (odejmujemy to wyrażenie od obu stron):

\[(f(x)g(x))'-f(x)g'(x)=f'(x)g(x)\]

Całkujemy obie strony równości i mamy:

\[\int (f(x)g(x))'\,dx-\int f(x)g'(x)\,dx=\int f'(x)g(x)\,dx\]

Odwracamy równość (a=b, to to samo, co b=a) oraz stosujemy wzór \(\int (f(x)g(x))'\,dx=f(x)g(x)\), który wynika wprost z definicji całki (operacja odwrotna do różniczkowania):

\[\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx\]

Wskazówki

W rozwiązaniu wykorzystujemy oczywisty fakt:

jeżeli \(f(x)=g(x)\) to \(\int f(x)\,dx=\int g(x)\,dx\).

Zobacz przykłady całkowania przez części.

 

 

Komentarzy (0)