W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Ekspresowo nauczymy Cię rozwiązywać zadania z matematyki wyższej

Zobacz jakie to proste z obliczone.pl - uczysz się na przykładach i zaliczasz matematykę bez problemu!

 

 Granice funkcji - podstawowe wzory i własności

Co to jest granica funkcji?

Granicę funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) (mówi się też, gdy \(x\) dąży do \(x_0\) lub przy \(x\) dążącym do \(x_0\)) oznaczamy przez:

\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\]

lub

\[f(x)\to g,\,\,\,\textrm{gdy}\,\,\,x\to x_0\]

gdzie \(g\) jest wynikiem granicy, który może:

1. być jakąś liczbą rzeczywistą, np. \(g=-5\frac{1}{3}\), \(g=0\) itp. - taką granicę nazywa się granicą właściwą

Przykład

\[\lim\limits_{x\to 0}x^2=0\]

2. być nieskończonością, czyli \(g=-\infty\) lub \(g=+\infty\) - taką granicę nazywa się niewłaściwą

Przykład

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty\]

3. wogóle nie istnieć

Przykład

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}\,\,-\,\,\textrm{nie istnieje}\]

Pamiętaj, że możliwe są tylko 3 przypadki omówione powyżej.

Obrazowo, granica właściwa funkcji to taka wartość \(g\) (liczba), że gdy \(x\) jest bardzo blisko wartości \(x_0\) (a nawet \(x=x_0\), gdy punkt \(x_0\) należy do dziedziny funkcji), to wartość funkcji w punkcie x, czyli \(f(x)\) jest bardzo blisko wartości \(g\) (a nawet \(f(x_0)=g\), gdy funkcja jest ciągła w punkcie \(x_0\)).

Granica niewłaściwa (czyli \(-\infty\) lub \(+\infty\)) występuje wtedy, gdy dla argumentów w pobliżu punktu \(x_0\) (czyli \(x\to x_0\)) wartości funkcji są dowolnie duże w przypadku granicy równej \(+\infty\) (czyli \(f(x)\to +\infty\)) lub dowolnie małe w przypadku granicy równej \(-\infty\) (czyli \(f(x)\to -\infty\)).

Przykład 1

Weźmy bardzo prostą granicę funkcji \(f(x)=x\), przy x dążącym do zera, czyli \(x\to 0\).
Taka granica jest równa zero: 

\[\lim\limits_{x\to 0} x=0\]

ponieważ, gdy x jest bardzo blisko liczby 0, możemy przyjąć nawet, że \(x=0\), to funkcja \(f(x)=x\),
która jest ciągła w punkcie \(x=0\), przyjmuje wartość równą zero, \(f(0)=0\).
Zatem wartością granicy jest \(g=0\).

Na poniższym rysunku widać jak funkcja \(f(x)=x\) dąży do 0, gdy \(x\to 0\):

granica z f(x)=x przy x dążącym do zera - przyklad

ZASADA 1: Granica funkcji \(f(x)\) ciągłej w punkcie \(x_0\) przy \(x\to x_0\) jest równa wartości tej funkcji w punkcie \(x_0\), czyli \(f(x_0)\):\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\]Obrazowo, funkcja \(f(x)\) jest ciągła w jakimś punkcie \(x_0\) (należącym do jej dziedziny), gdy wykres tej funkcji można poprowadzić przez punkt \(x_0\) bez odrywania ręki (długopisu, ołówka itp.). 

UWAGA: Warunek \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\) stanowi tak naprawdę ścisłą, matematyczną definicję funkcji ciągłej. Idea ciągłości funkcji jest jednak bardzo intuicyjna i spokojnie możesz na razie kojarzyć ciągłość z wykresem funkcji, który po prostu nie ma skoków, ani żadnych "dziur". 

Przykład 2

Funkcja \(f(x)=x^2\) jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny (jej wykres da się narysować bez odrywania ręki od kartki, nie ma "dziur"),
dlatego dla każdego \(x_0\in\mathbb{R}\) mamy:

\[\lim\limits_{x\to x_0} x^2=x^2_0\]

np. gdy \(x_0=2\), to \(\lim\limits_{x\to 2} x^2=2^2=4\)

Przykład 3

Funkcja \(f(x)=\sin(x)\) jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny (jej wykres da się narysować bez odrywania ręki od kartki),
dlatego dla każdego \(x_0\in\mathbb{R}\) mamy:

\[\lim\limits_{x\to x_0} \sin(x)=\sin(x_0)\]

np. gdy \(x_0=0\), to \(\lim\limits_{x\to 0} \sin(x)=\sin(0)=0\)

CIEKAWOSTKA: Granice funkcji, podobnie jak całki nieoznaczone i oznaczone oraz pochodne funkcji, są jednym z podstawowych zagadnień analizy matematycznej.

Definicja Heinego granicy

Definicja jest taka sama w przypadku granicy właściwej i niewłaściwej (czyli gdy granica \(g\) jest liczbą lub nieskończonością):

Niech \(x_0\in\mathbb{R}\) oraz funkcja \(f(x)\) jest określona (przynajmniej) na przedziale \((x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\), gdzie \(R>0\).

Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(g\) (właściwą lub niewłaściwą) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu liczbowego \(x_n\in (x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:

\[\lim\limits_{n\to \infty} x_n=x_0\,\,\Rightarrow\,\,\lim\limits_{n\to \infty} f(x_n)=g\]

gdzie \(g\) jest liczbą rzeczywistą lub \(\pm \infty\).

 Przykład

Korzystając z definicji Heinego wykażemy, że

\[\lim\limits_{x\to 0} x=0\]

Weźmy dowolny ciąg \(x_n\to 0\), gdy \(n\to \infty\), taki, że \(x_n\in (-R,0)\cup (0,R)\), dla pewnego \(R>0\) np. \(x_n=\frac{1}{n}\) oraz \(f(x)=x\), wtedy:

\[\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to \infty}x_n=0\]

zatem  \(\lim\limits_{x\to 0} x=0\).

Definicja Cauchy'ego granicy

W przypadku granicy właściwej definicja wygląda następująco:

Niech \(x_0\in\mathbb{R}\) oraz funkcja \(f(x)\) jest określona (przynajmniej) na przedziale \((x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\), gdzie \(R>0\).

Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(g\in\mathbb{R}\) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(\epsilon>0\) istnieje taka liczba \(\delta>0\), że dla każdego \(x\in (x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:

\[|x-x_0|<\delta\,\,\,\Rightarrow\,\,\,|f(x)-g|<\epsilon\]

którą należy rozumieć następująco: jeżeli \(x\in(x_0-\delta,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta)\), to wartość funkcji \(f(x)\in(g-\epsilon,g+\epsilon)\).

W przypadku granicy niewłaściwej definicja Cauchy'ego jest nieco inna:

Niech \(x_0\in\mathbb{R}\) oraz funkcja \(f(x)\) jest określona (przynajmniej) na przedziale \((x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\), gdzie \(R>0\).

Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(\pm\infty\) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(\epsilon>0\) istnieje taka liczba \(\delta>0\), że dla każdego \(x\in(x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:

\[|x-x_0|<\delta\,\,\,\Rightarrow\,\,\,|f(x)|>\epsilon\]

którą należy rozumieć następująco: jeżeli \(x\in(x_0-\delta,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta)\), to wartość funkcji \(f(x)\) jest większa od \(\epsilon>0\) (wartość jest dowolnie duża).

 Przykład

Korzystając z definicji Cauchy'ego wykażemy, że

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x^2}=+\infty\]

Ustalmy \(\epsilon>0\) i weźmy \(0<\delta<\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\), np. \(\delta=\frac{1}{2\sqrt{\epsilon}}\).

W naszym przypadku mamy \(x_0=0\).

Niech \(|x-x_0|=|x-0|=|x|<\delta\), wtedy:

\[\left|\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1}{|x|^2}>\frac{1}{\delta^2}>\epsilon\]

ponieważ \(\frac{1}{|x|}>\frac{1}{\delta}\), gdy \(|x|<\delta\) oraz \(\frac{1}{\delta^2}>\epsilon\), gdy \(\delta<\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\).

Zatem  \(\left|\frac{1}{x^2}\right|>\epsilon\), a więc \(\frac{1}{x^2}\to +\infty\), gdy \(x\to 0\).

Na poniższym rysunku widać, że funkcja \(f(x)=\frac{1}{x^2}\) "ucieka" do \(+\infty\) i nigdy nie dotknie osi OY,
co więcej dla \(|x-x_0|<\delta\) mamy \(|f(x)|>\epsilon\):

granica def Cauchyego przyklad

Jak liczyć granice funkcji?

Własności granic funkcji - reguły liczenia

Jeżeli istnieją granice \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) i \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\), to:

Granica sumy funkcji jest równa sumie granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)+ g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)+ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]

Granica różnicy funkcji jest równa  różnicy granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)- g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)-\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]

Granica iloczynu liczby (stałej) przez funkcję jest równa iloczynowi liczby przez granicę funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\]

Granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]

Granica ilorazu funkcji jest równa ilorazowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)},\,\,gdy\,\,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\neq 0\]

Granica funkcji \(f(x)\) podniesionej do potęgi równej funkcji \(g(x)\) jest równa potędze granic tych funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\big(f(x)\big)^{g(x)}\right)=\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)^{\left(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\right)}\]

Przykład 1

\[\lim\limits_{x\to 0}(x+\sin(x))=\lim\limits_{x\to 0}x+\lim\limits_{x\to 0}\sin(x)=0+\sin(0)=0\]Przykład 2\[\lim\limits_{x\to 1}2x^2=2\lim\limits_{x\to 1}x^2=2\cdot 1^2=2\]

Przykład 3

\[\lim\limits_{x\to \pi}x\sin(x)=\big(\lim\limits_{x\to \pi}x\big)\cdot \big(\lim\limits_{x\to \pi}\sin(x)\big)=\pi\cdot \sin(\pi)=\pi\cdot 0=0\]

Przykład 4

\[\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x+1}{\cos(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to 0}(x+1)}{\lim\limits_{x\to 0}\cos(x)}=\frac{0+1}{1}=1\]

Przykład 5

\[\lim\limits_{x\to 0}e^{\sin(x)}=\big(\lim\limits_{x\to 0}e\big)^{\lim\limits_{x\to 0}\sin(x)}=e^{\sin(0)}=e^0=1\]

ZASADA 2: Granice skomlikowanych funkcji złożonych będących sumą, różnicą, iloczynem, ilorazem lub potęgą funkcji, możesz niemal zawsze rozbić na granice prostszych wyrażeń. Takie granice liczy się znacznie łatwiej!

Granice funkcji - wzory

Jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ciągła w punkcie \(x_0\) (oznacza to, że można narysować wykres tej funkcji przez punkt \(x_0\) bez odrywania ręki), to:

\[\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\]

Przykład 1

Dla każdego \(a\in\mathbb{R}\) mamy:

\[\lim\limits_{x\to a} x^2=a^2\]

np. gdy \(a=1\), to

\[\lim\limits_{x\to 1} x^2=1^2=1\]

Przykład 2

Dla każdego \(a>0\) mamy:

\[\lim\limits_{x\to a} \ln x=\ln a\]

np. gdy \(a=2\), to

\[\lim\limits_{x\to 2} \ln x=\ln 2\]

Przykład 3

Dla każdego \(a\neq -1\) mamy:

\[\lim\limits_{x\to a} \frac{x^2+2x-1}{x+1}=\frac{a^2+2a-1}{a+1}\]

np. gdy \(a=0\), to

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{x^2+2x-1}{x+1}=\frac{0^2+2\cdot0-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1\]

Niech funkcja \(f(x)\) będzie funkcją różniczkowalną (mającą pochodną), np. \(f(x)=x\), wtedy prawdziwe są poniższe wzory:

Granice z funkcji trygonometrycznych:

\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\sin\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{tg\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{arctg\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\arcsin\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]

Przykład 1

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin\big(x\big)}{x}=1\]

Przykład 2

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{tg\big(x\big)}{x}=1\]

Granice z logarytmami:

\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{a^{f(x)}-1}{f(x)}=\ln a,\,\,\,gdy\,\,\,a>0\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\big(1+f(x)\big)^a-1}{f(x)}=\ln a,\,\,\,gdy\,\,\,a\in\mathbb{R}\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\log_a \big(1+f(x)\big)}{f(x)}=\log_a e,\,\,\,gdy\,\,\,a>0,\,a\neq 1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\ln \big(1+f(x)\big)}{f(x)}=1\]

Przykład 1

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{2^{x}-1}{x}=\ln 2\]

Przykład 2

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln \big(1+x\big)}{x}=1\]

Granice z liczbą e:

\[\lim\limits_{f(x)\to\pm \infty} \left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \left(1+f(x)\right)^{\frac{1}{f(x)}}=e\]

Przykład 1

\[\lim\limits_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\]

Przykład 2

\[\lim\limits_{x\to 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e\]

UWAGA: Powyższe wzory można wyprowadzić używając reguły de L'Hospitala.

Granice jednostronne

Granicę prawostronną funkcji f(x) w punkcie \(x_0\) oznaczamy przez:

\[\lim\limits_{x\to x^+_0}f(x)\]

Zauważ, że \(x\to x^+_0\) (jest tu mały "plusik" na górze), co oznacza, że x dąży do \(x_0\) z prawej strony, czyli po wartościach większych niż \(x_0\).

Przykład

Dla przykładu, gdy \(x\to 1^+\) to możemy przyjąć, że \(x\) jest liczbą trochę większą od 1, np. x=1,001.

Załóżmy, że chcemy obliczyć granicę \(\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{2}{x}\), przyjęliśmy, że x=1,001, stąd \(\frac{2}{x}=\frac{2}{1,001}\approx 2\), dlatego:

\[\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{2}{x}=2\]

Natomiast granicę lewostronną funkcji f(x) w punkcie \(x_0\) oznaczamy przez:

\[\lim\limits_{x\to x^-_0}f(x)\]

Zauważ, że \(x\to x^-_0\) (jest tu mały "minus" na górze), co oznacza, że x dąży do \(x_0\) z lewej strony, czyli po wartościach mniejszych niż \(x_0\).

Przykład

Gdy \(x\to 1^-\) to możemy przyjąć, że \(x\) jest liczbą trochę mniejszą od 1, np. x=0,999.

Załóżmy, że chcemy obliczyć granicę \(\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{2}{x}\), przyjęliśmy, że x=0,999, stąd \(\frac{2}{x}=\frac{2}{0,999}\approx 2\), dlatego:

\[\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{2}{x}=2\]

Poniżej możesz zobaczyć rysunek ilustrujący ideę granic jednostronnych:

granice jednostronne funkcji - rysunek

Inne przykłady:

\[\lim\limits_{x\to -2^-}\big(3x^3+2x+1\big)=3(-2)^3+2(-2)+1=-27\]

\[\lim\limits_{x\to \sqrt{2}^-}x=\sqrt{2}\]

\[\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^+}(x+1)=2\]

\[\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1\]

Granica funkcji w punkcie \(x_0\) istnieje, wtedy i tylko wtedy, gdy\[\lim\limits_{x\to x^-_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x^+_0}f(x)=g\]wówczas piszemy\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\]

Powyższy warunek jest warunkeim koniecznym i dostatecznym istnienia granicy funkcji.

UWAGA: Powyższy warunek stosuje się do znajdowania granic funkcji określonych przez wartość bezwzględną lub za pomocą kilku wzorów. Można go też użyć do wykazania, że granica funkcji nie istnieje.

Jak wykazać, że granica funkcji nie istnieje?

Są na to 2 sposoby, których możesz używać do rozwiązywania konkretnych zadań:

1. Oblicz granice jednostronne i sprawdź, czy są sobie równe. Jeśli są, to granica istnieje, a jeżeli nie, to granica funkcji nie istnieje

Przykład

Niech funkcja f(x) będzie określona następująco:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x,&\textrm{gdy}&x<1\\x+1&\textrm{gdy}&x\ge 1\end{array}\right.\]

Wykażemy, że granica \(\lim\limits_{x\to 1}f(x)\) nie istnieje.

Krok 1

Liczymy granicę lewostronną przy \(x\to 1^-\):

\[\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}x=1\]

ponieważ \(f(x)=x\), gdy \(x<1\)

Ktok 2

Liczymy granicę prawostronną przy \(x\to 1^+\):

\[\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}(x+1)=1+1=2\]

ponieważ \(f(x)=x+1\), gdy \(x\ge 1\)

Krok 3

\[\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1\neq 2=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)\]

zatem granica funkcji \(f(x)\) przy \(x\to 1\) nie istnieje

2. W zadaniach typu "Wykaż, że granica funkcji nie istnieje" możesz wykorzystać następujący fakt:

Jeżeli istnieją ciągi \(x_n\neq x_0\) oraz \(y_n\neq x_0\) spełniające warunki \(x_n\to x_0\), \(y_n\to x_0\) oraz\[\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)\neq \lim\limits_{n\to \infty} f(y_n)\]to granica funkcji \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\) nie istnieje.

Przykład:

Rozważmy granicę funkcji:

granica funkcji nie istnieje

Twierdzenie o trzech funkcjach

stosuje się do obliczania granic właściwych, w których występują funkcje ograniczone przez inne funkcje lub liczby (w całej dziedzinie, na przedziale lub na półprostej), np. \(\sin x,\, \cos x\), \(\frac{1}{x}\) oraz funkcje, których granice nie istnieją, np. \(\lim\limits_{x\to \infty} \sin x\) nie istnieje.

Oto treść twierdzenia:

Jeżeli funkcje \(f,g,h\) spełniają warunki\[f(x)\le g(x) \le h(x),\,\,\,dla\,\,\,\,x\in(x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R),\,\,R>0\]oraz\[\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=g\]to:\[\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=g\]

UWAGA 1: Twierdzenie jest prawdziwe również dla granic właściwych jednostronnych oraz dla granic właściwych w nieskończoności.

UWAGA 2: Nierówność \(f(x)\le g(x)\le h(x)\) musi być spełniona jedynie w otoczniu punktu \(x_0\) (nie musi być spełniona dla wszystkich \(x\))

Przykład:

Chcemy obliczyć granicę funkcji:

\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x^2}=?\]

Zauważmy, że dla wszystkich \(x\in \mathbb{R}\):

\[\frac{-1}{x^2}\le \frac{\sin x}{x^2}\le \frac{1}{x^2}\]

ponieważ \(\sin(x)\in[-1,1]\), ponadto:

\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{-1}{x^2}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0\]

Zatem z Twierdzenia o 3 funkcjach mamy:

\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x^2}=0\]

Przykłady funkcji występujących w graniacach, które można obliczyć przy użyciu twierdzenia o 3 funkcjach:

\[-1\le \sin x\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-1\le \cos x\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-\frac{\pi}{2}\le arctg\, x\le \frac{\pi}{2},\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[0\le arcctg\, x\le \pi,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-1\le sgn(x)\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[x-1\le E(x)=\lfloor{x}\rfloor\le x,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]

gdzie \(sgn(x)\) to funkcja signum, czyli\[sgn(x)=\left\{\begin{array}{cc}1,&\textrm{dla}\,\,\,x>0\\0,&\textrm{dla}\,\,\,x=0\\-1,&\textrm{dla}\,\,\,x<0\end{array}\right.\]

natomiast \(E(x)=\lfloor{x}\rfloor\) to część całkowita z \(x\), czyli:\[E(x)=\max\{k\in\mathbb{Z}:\,\,k\le x\}\]

Jak liczyć granice niewłaściwe?

1. Granica z wyrażenia: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"

\[\color{red}{g+\infty=\infty+g=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g\le \infty\]

Przykład 1

\[\lim\limits_{x\to 0}\left(\sin x+\frac{1}{x^2}\right)=\lim\limits_{x\to 0}\sin x+\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\big[0+\infty\big]=+\infty\]

UWAGA: Nieskończoność nie jest liczbą i tak naprawdę dodanie jej do innej liczby nie ma sensu ściśle matematycznego, jednak dla ułatwienia obliczeń możemy użyć zapisu \(\big[0+\infty\big]\). Używamy nawiasów kwadratowych, do zaznaczenia, że jest to zapis pomocniczy, umowny, którego celem jest jedynie ułatwienie obliczeń, a nie ścisłe rachunki.

Przykład 2

\[\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x+\frac{1}{x^2}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}x+\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\big[+\infty+0\big]=+\infty\]

2. Granica z wyrażenia: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"

\[\color{red}{g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,0<g\le \infty\]

Przykład

\[\lim\limits_{x\to -\infty}\left(5x^2\right)=5\lim\limits_{x\to -\infty}x^2=\big[5\cdot \infty\big]=+\infty\]

3. Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0

\[\color{red}{\frac{g}{\infty}=0},\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g<\infty\]

Przykład

\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{4}{x^2}=\frac{4}{\lim\limits_{x\to \infty}x^2}=\left[\frac{4}{\infty}\right]=0\]

4. Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"

\[\color{red}{\frac{g}{0^+}=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,0<g<\infty\]

Przykład

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{16}{x^2}=\frac{16}{\lim\limits_{x\to 0}x^2}=\left[\frac{16}{0^+}\right]=+\infty\]

5. Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1

\[\color{red}{g^{\infty}=0},\,\,\,gdy\,\,\,0<g<1\]

Przykład

\[\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\ln x}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{\infty}\right]=0\]

6. Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1

\[\color{red}{g^{\infty}=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,1<g\le \infty\]

Przykład

\[\lim\limits_{x\to \infty}\left(2\right)^{\ln x}=\left[\left(2\right)^{\infty}\right]=+\infty\]

7. Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna

\[\color{red}{\infty^{g}=0},\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g< 0\]

Przykład

\[\lim\limits_{x\to \infty}\left(\ln x\right)^{-2}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{(\ln x)^2}=\left[\frac{1}{\infty}\right]=0\]

8. Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia

\[\color{red}{\infty^{g}=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,0<g\le \infty\]

Przykład

\[\lim\limits_{x\to \infty}\left(\ln x\right)^{2}=\left[\left(\infty\right)^{2}\right]=+\infty\]

Twierdzenie o dwóch funkcjach

Przy liczeniu granic niewłaściwych, w których występują funkcje ograniczone przez inne funkjce (lub liczby) oraz funkcje, których granice nie istnieją, przydatne jest czasami twierdzenie o 2 funkcjach:

Jeżeli funkcje \(f(x)\) i \(g(x)\) spełniają warunki:\[f(x)\le g(x),\,\,\,dla\,\,\,x\in(x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\]oraz\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\]to\[\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\infty\]

UWAGA: Twierdzenie o dwóch funkcjach jest prawdziwe również dla granic jednostronnych oraz dla granic w nieskończoności. Prawdziwe są też analogiczne twierdzenia dla granicy niewłaściwej funkcji równej \(-\infty\).

Przykład

Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnimy, że:

\[\lim\limits_{x\to \infty}(\sin x-e^x)=-\infty\]

Następująca nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x\in\mathbb{R}\):

\[\sin x-e^x\le 1-e^x\]

ponieważ \(\sin x\le 1\) dla wszystkich \(x\in\mathbb{R}\).
Mamy:

\[\lim\limits_{x\to \infty}(1-e^x)=-\infty\]

Zatem z twierdzenia o dwóch funkcjach \(\lim\limits_{x\to \infty}(\sin x-e^x)=-\infty\).

Symbole nieoznaczone

lub wyrażenia nieoznaczone, to wyrażenia umowne, które stosuje się przy liczeniu granic funkcji, np. gdy licznik i mianownik zbiegają do zera, tak jak w granicy:

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\left[\frac{0}{0}\right]\]

Oto pełna lista 7 symboli nieoznaczonych:

\[\left[\frac{0}{0}\right],\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\,\,\,[\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\]

Zapamiętaj, że wyrażenia nieoznaczone nie mają znaczenia liczbowego (dlatego piszemy je w nawiasach klamrowych), bo np, nie można dzielić przez 0, a nieskończoność to nawet nie liczba tylko obiekt.

Wartości tych wyrażeń są różne w przypadku różnych funkcji (dlatego właśnie nazywa się je symbolami nieoznaczonymi).

Przykład

Załóżmy, że:

\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0,\,\,\,\lim\limits_{x\to 0}g(x)=\infty\]

ale granica iloczynu tych funkcji \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)\cdot g(x)=[0\cdot \infty]\) może mieć różne wartości, albo nawet nie istnieć:

Gdy \(f(x)=ax^2\), \(g(x)=\frac{1}{x^2}\), \(a\in\mathbb{R}\):

\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)\cdot g(x)=a\]

Gdy \(f(x)=x^2\), \(g(x)=\frac{1}{x^6}\):

\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)\cdot g(x)=+\infty\]

Gdy \(f(x)=-x^2\), \(g(x)=\frac{1}{x^4}\):

\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)\cdot g(x)=-\infty\]

Gdy \(f(x)=x\), \(g(x)=\frac{1}{x^2}\):

\[\lim\limits_{x\to 0}f(x)\cdot g(x)\,\,-\,\textrm{nie istnieje}\]

UWAGA: Z symbolami nieoznaczonymi trzeba bardzo uważać. Zapamiętaj, że zazwyczaj:\[\left[\frac{0}{0}\right]\neq 1\]\[\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\neq 1\]\[[\infty-\infty]\neq 0\]\[[0\cdot \infty]\neq 0\]\[\big[1^{\infty}\big]\neq 1\]\[\big[\infty^0\big]\neq 1\]\[\big[0^0\big]\neq 1\]Nie możesz stosować żadnych regułek wyuczonych na pamięć (w zależności od sytuacji, każdy z tych symoli może dać różne wyniki)!

Jeszcze jeno, symbolami nieoznaczonymi nie są wyrażenia typu:

\[\left[\frac{A}{\infty}\right],\,\textrm{dla}\,A\in\mathbb{R},\,\,\,[\infty+\infty],\,\,\,[\infty\cdot \infty],\,\,\,\left[\infty^{\infty}\right]\]

Wyniki takich granic możesz bez problemu obliczyć (są zawsze takie same):

\[\left[\frac{1}{\infty}\right]=0\]\[[\infty+\infty]=\infty\]\[[\infty\cdot \infty]=\infty\]\[\left[\infty^{\infty}\right]=\infty\]

Jak pozbyć się symboli nieoznaczonych?

Podstawową metodą radzenia sobie z symbolami nieoznaczonymi typu \(\left[\frac{0}{0}\right],\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\) jest reguła de L'Hospitala.

Bardzo często jednak wystarczy wykonać proste przekształcenie, dzięki któremu można łatwo pozbyć się symbolu nieoznaczonego:

1. Spróbuj wyciągnąć x do najwyższej potęgi przed nawias (jeśli liczysz granicę z funkcji wymiernej, to wyciągnij najwyższą potęgę w liczniku i mianowniku i skróć co się da).

2. Jeśli liczysz granicę z funkcji wymiernej, to zastosuj rozkład na czynniki lub zastosuj wzór skróconego mnożenia w liczniku i mianowniku, następnie skróć co się da.

Przykład

Użyjemy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):

\[\lim\limits_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}(x+1)=1+1=2\]

Reguła de L'Hospitala

lub twierdzenie de L'Hospitala pozwala liczyć granice funkcji, które dają symbole nieoznaczone postaci:

\[\left[\frac{0}{0}\right],\,\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\]

Poprawne stosowanie reguły de L'Hospitala wymaga umiejętności liczenia pochodnych funkcji, oto treść twierdzenia:

Jeżeli\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\left[\frac{0}{0}\right]\,\,\,\textrm{lub}\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\]istnieją pochodne f'(x) i g'(x) (w otoczeniu punktu \(x_0\)) oraz istnieje granica\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]to\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]

UWAGA 1: Reguła de L'Hospitala "działa" też dla granic jednostronnych.

UWAGA 2: Reguła de L'Hospitala "NIE DZIAŁA" bezpośrednio dla innych symboli nieoznaczonych, tj. \([\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\)

UWAGA 3: W niektórych zadaniach trzeba zastosować regułę de L'Hospitala kika razy (2, 3 a nawet więcej razy)!

Przykład 1

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 0} \frac{(\sin(x))'}{(x)'}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos(x)}{1}=\cos(0)=1\]

Przykład 2

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{x}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 0} \frac{(\ln(x+1))'}{(x)'}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x+1}}{1}=\frac{1}{0+1}=1\]

Przykład 3

\[\lim\limits_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 1} \frac{(x^2-1)'}{(x-1)'}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{2x}{1}=\frac{2}{1}=2\]

Przykład 4

\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to \infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=0\]

ZASADA 3: Do liczenia granic wyrażeń nieoznaczonych typu \(\left[\frac{0}{0}\right]\), \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\) niezbędne są wzory lub reguła de L'Hospitala.

Jak przekształcać symbole nieoznaczone?

Regułe de L'Hospitala możesz stosować jedynie w przypadku symboli nieoznaczonych:

\[\left[\frac{0}{0}\right],\,\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\]

a, co zrobić, gdy pojawią się inne wyrażenia nieoznaczone, takie jak:

\[[\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\]

wystarczy wtedy zastosować poniższe przekształcenia do symboli nieoznaczonych \(\left[\frac{0}{0}\right],\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\), dla których można już spokojnie zastosować regułę de L'Hospitala:

1. Gdy \(f\cdot g\to\left[0\cdot \infty\right]\), to możemy zastosować tożsamość\[f\cdot g=\frac{f}{\frac{1}{g}}\]otrzymując symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\)

Przykład

\[\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln x=\left[0\cdot \infty\right]=\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\left[\frac{-\infty}{\infty}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{-x^2}}=-\lim\limits_{x\to 0^+}x=0\]

2. Gdy \(\frac{1}{f}\pm \frac{1}{g}\to\left[\infty- \infty\right]\), to możemy zastosować tożsamość\[\frac{1}{f}\pm \frac{1}{g}=\frac{g\pm f}{f\cdot g}\]otrzymując symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\).

Przykład

\[\lim\limits_{x\to 1} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)=\left[\infty-\infty\right]=\lim\limits_{x\to 1} \frac{\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}=\left[\frac{0}{0}\right]=\]\[\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x}-1}{\ln x+1-\frac{1}{x}}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 1}\frac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}\]

3. Gdy \(f^g\to\left[1^\infty\right]\) lub \([0^\infty]\) lub \([0^0]\), to możemy zastosować tożsamość\[f^g=e^{g\ln f}\]otrzymując symbol nieoznaczony \(0\cdot \infty\), który dalej można przekształcić do symbolu \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\) (patrz punkt 1).

Przykład

\[\lim\limits_{x\to 0^+} x^x=\left[0^0\right]=\lim\limits_{x\to 0^+}e^{\ln \big(x^x\big)}=\lim\limits_{x\to 0}e^{x\ln x}=\left[e^{0\cdot \infty}\right]=\lim\limits_{x\to 0^+}e^{\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}}\stackrel{H}{=}\ldots =e^{0}=1\]

Jak liczyć granice funkcji w kalkulatorze wolframalpha.com?

Na stronie wolframalpha.com możesz policzyć dowolną granicę funkcji, np. żeby obliczyć granicę funkcji \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}\), wystarczy wpisać:

lim (sin x - x)/x^3 as x->0

granica funkcji w wolframalpha

Inne przykłady:

\(\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2+1}{\sin(x)+2x}\)

wpiszesz za pomocą polecenia

lim (x^2+1)/(sinx+2x) as x->2

\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x+1}\)

wpiszesz za pomocą polecenia

lim lnx/(x+1) as x->inf

Zobacz również kalkulator granic funkcji jednej zmiennej mojego autorstwa.

Podsumowanie - zasady ułatwiające liczenie granic funkcji

  1. Granica funkcji ciągłej w punkcie, w którym liczymy granicę, jest równa wartości funkcji w tym punkcie. Licząc granice warto narysować pomocniczy wykres funkcji, na którym widać "kiedy i do czego funkcja dąży".
  2. Reguły liczenia granic pozwalają rozbijać granice skomplikowanych funkcji na sumy, różnice, iloczyny lub ilorazy granic prostszych funkcji - to znacznie ułatwia liczenie
  3. Do liczenia granic wyrażeń nieoznaczonych typu \(\left[\frac{0}{0}\right]\), \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\) niezbędne są wzory, których należy nauczyć się na pamięć lub stosowanie reguły de L'Hospitala.

Sprawdź swoją wiedzę o graniach funkcji - zadania kontrolne

1. Oblicz granicę funkcji

\[\lim\limits_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1}\]

Użyjemy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):

\[\lim\limits_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}(x+1)=1+1=2\]

2. Oblicz granicę funkcji

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{3+x^2}{\sin(x)-1}\]

Zastosujemy reguły liczenia granic funkcji, czyli fakt, że granica ilorazu jest ilorazem granic oraz ciągłość funkcji występujących w granicy:

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{3+x^2}{\sin(x)-1}=\frac{3+0}{0-1}=-3\]

3. Oblicz granicę funkcji przy użyciu reguły de L'Hospitala:

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{2^x-1}{x}\]

\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{2^x-1}{x}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 0}\frac{(2^x-1)'}{x'}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2^x \ln 2-0}{1}=2^0\cdot \ln 2=\ln 2\]

Zrób kolejny krok i ucz się granic funkcji na przykładach

 

Zapisz

Komentarzy (2)

  • sebo!
    @Grewle Zgadza się, licząc pochodną z definicji funkcji \(f(x)=2^x\) musimy obliczyć analogiczną granicę. Celem ćwiczenia jest jednak zastosowanie reguły de L'Hospitala, a więc tak naprawdę "gotowego" wzoru na pochodną funkcji \(f(x)=2^x\), czyli \(f'(x)=2^x\ln 2\).
  • Grewle
    Kiepskim pomysłem jest liczenie ostatniej granicy regułą de L'Hospitala bo potrzebujemy
    granicy którą liczymy do policzenia pochodnej licznika
    Należy rozpatrzyć granice jednostronne i zastosować podstawienie sprowadzające tę granicę
    do granicy Bernoulliego na liczbę e (sposób przedstawiony np u Franciszka Lei)