NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

 

Szeregi liczbowe - podstawowe wzory i własności

1. Co to jest szereg liczbowy?

Materiał z szeregów liczbowych jest mocno związany z ciągami liczbowymi, dlatego warto najpierw dobrze opanować, np. pojęcie granicy ciągu.

Szereg liczbowy to nieskończona suma liczb:

Przykład 1

Nieskończona suma kolejnych liczb naturalnych:

\[1+2+3+4+5\,+\,...=\sum\limits_{n=1}^\infty n\]

Przykład 2

Nieskończona suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych:

\[1+4+9+16+25\,+\,...=\sum\limits_{n=1}^\infty n^2\]

Przykład 3

Nieskończona suma odwrotności kolejnych liczb naturalnych:

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\,+\,...=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\]

Szereg liczbowy o wyrazach \(a_n\):

\[a_1+a_2+a_3\,+\,...\]

oznaczamy symbolem:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+a_3\,+\,...\]

CIEKAWOSTKI: Szeregi liczbowe, oprócz całek, pochodnych i granic funkcji, stanowią jeden z działów analizy matematycznej. Szeregi nieskończone stosuje się np. do przybliżania funkcji, do rozwiązywania skomplikowanych równań, które opisują różne zjawiska fizyczne oraz do kompresji obrazu (jpeg) i dzwięku.

1.1. Ciąg sum częściowych szeregu

Ciągiem sum częściowych szeregu liczbowego nazywamy ciąg liczbowy \(S_k\): \[S_k=\sum\limits_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+a_3\,+\,...\,+\,a_k\]

Ciąg sum częściowych szeregu jest sumą \(k\) pierwszych wyrazów ciągu \(a_n\) (\(k\) pierwszych składników szeregu):

\(S_1\) jest równe pierwszemu wyrazowi:

\[S_1=\sum\limits_{n=1}^1 a_n=a_1\]

\(S_2\) jest równe sumie pierwszych dwóch wyrazów ciągu:

\[S_2=\sum\limits_{n=1}^2 a_n=a_1+a_2\]

\(S_3\) jest równe sumie pierwszych trzech wyrazów ciągu:

\[S_3=\sum\limits_{n=1}^3 a_n=a_1+a_2+a_3\]

\[\vdots\]

\(S_6\) jest równe sumie pierwszych sześciu wyrazów ciągu:

\[S_6=\sum\limits_{n=1}^6 a_n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6\]

Zanim przejdziemy do przykładu zauważ, że:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\lim\limits_{k\to \infty}\sum\limits_{n=1}^k a_n=\lim\limits_{n\to \infty} S_k\]

Przykład

Wypiszmy sumy częściowe szeregu:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]

\[S_1=\sum\limits_{n=1}^1 \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]

\[S_2=\sum\limits_{n=1}^2 \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{1+2}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\]

\[\vdots\]

\[S_k=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\,+\,...\,+\,\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1}\]

2. Zbieżność szeregów liczbowych

Badanie zbieżności jest najczęstszym tematem zadań z szeregów liczbowych.

2.1. Szeregi zbieżne, bezwzględnie i warunkowo zbieżne

Szereg liczbowy jest zbieżny, gdy ciąg jego sum częściowych \(S_k\) jest zbieżny (ma granicę skończoną), tzn. \[\lim\limits_{k\to \infty}S_k=S\]wtedy: \[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+a_3\,+\,...\,=\lim\limits_{k\to \infty}S_k=S<\infty\]

Przykład 1

Szereg:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]

jest zbieżny, ponieważ:

\[\lim\limits_{k\to \infty}S_k=\lim\limits_{k\to \infty}\left(1-\frac{1}{k+1}\right)=1-0=1\]

Zatem:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1<\infty\]

Przykład 2

Rozważmy szereg geometryczny (gdzie \(|q|<1\)):

\[\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3\,+\,...\]

Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, mamy:

\[S_k=1+q+q^2+q^3\,+\,...\,+\,q^k=\frac{1-q^n}{1-q}\]

ponadto dla \(|q|<1\):

\[\lim\limits_{k\to\infty}q^k=0\]

Zatem:

\[\lim\limits_{k\to \infty}S_k=\lim\limits_{k\to \infty}\frac{1-q^k}{1-q}=\frac{1}{1-q}<\infty\]

Co oznacza, że szereg geometryczny jest zbieżny:

\[\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3\,+\,...\,=\frac{1}{1-q}<\infty\]

Poniżej poznasz jeszcze dwa ważne pojęcia związane ze zbieżnością szeregów liczbowych.

Mówimy, że szereg \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg (z wartością bezwzględną):\[\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|<\infty\]

Zwróć uwagę, że:

Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.

Mówimy, że szereg \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) jest warunkowo zbieżny, gdy jest on zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny.

Przykład 1

Wszystkie szeregi zbieżne o wyrazach dodatnich są bezwzględnie zbieżne, np.

\[\sum\limits_{n=0}^\infty \left|\left(\frac{1}{4}\right)^n\right|=\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^n<\infty\]

Przykład 2

Szereg naprzemienny:

\[\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n}<\infty\]

jest zbieżny warunkowo, ponieważ szereg:

\[\sum\limits_{n=0}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n}=+\infty\]

jest rozbieżny.

2.2. Warunek konieczny zbieżności szeregów

jest to warunek, który spełnia każdy szereg zbieżny.

Jeżeli szereg liczbowy:\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\]jest zbieżny, to:\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0\]

UWAGA 1: Powyższy warunek konieczny zbieżnośći można równoważnie sformułować następująco:

Jeżeli\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n\neq 0\]to szereg liczbowy:\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\]jest rozbieżny.

Druga wersja jest użyteczna w konkretnych zadaniach do sprawdzania zbieżności szeregów. Szczególnie, gdy chcemy wykazać, że dany szereg jest rozbieżny.

 Przykład

Pokażemy, że suma wszystkich liczb naturalnych stanowi szereg rozbieżny:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty n\]

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu:

\[\lim\limits_{n\to +\infty} n=+\infty\neq 0\]

Warunek konieczny nie jest spełniony, zatem szereg liczbowy jest rozbieżny.

UWAGA 2: Zauważ, że warunek \(\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0\) nie oznacza wcale, że szereg \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny. Warunek konieczny pomaga jedynie w stwierdzeniu, że szereg jest rozbieżny!

2.3. Szeregi rozbieżne

Szereg liczbowy jest rozbieżny, gdy ciąg jego sum częściowych jest rozbieżny. Innymi słowy szereg jest rozbieżny, po prostu gdy nie jest zbieżny ;-)

Piszemy wtedy:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\infty\]

 Przykład

Szereg:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty n\]

jest rozbieżny, ponieważ jest sumą kolejnych liczb naturalnych:

\[\lim\limits_{k\to +\infty} S_k=\lim\limits_{k\to +\infty}(1+2+...+k)=\lim\limits_{k\to +\infty} \frac{k(k+1)}{2}=+\infty\]

Powyżej skorzystaliśmy ze wzoru na sumę \(k\) kolejnych liczb naturalnych.

Ostatecznie:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty n=+\infty\]

2.4. Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych

Szeregi zbieżne

Szereg geometryczny jest zbieżny:

\[1+q+q^2+q^3\,+\,...\,=\sum\limits_{n=0}^\infty q^n<\infty,\,\,\textrm{dla}\,\,\,|q|<1\]

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\,+\,...\,=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n<\infty\]

Szereg harmoniczny rzędu \(\alpha\) jest zbieżny dla \(\alpha>1\):

\[1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}}<\infty,\,\,\textrm{dla}\,\,\,\alpha>1\]

Szereg harmoniczny rzędu \(2\) jest zbieżny:

\[1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty\]

Szeregi rozbieżne

Szereg harmoniczny jest rozbieżny:

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty\]

 Szereg \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n=\infty\) jest rozbieżny, gdy \(a_n\) jest ciągiem rozbieżnym lub zbieżnym do liczby różnej od zera:

\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n \neq 0\]

Szereg (nieskończona suma) liczb rzeczywistych jest rozbieżny (\(a_n=a\) jest ciągiem stałym, zbieżnym do liczby \(a\)):

\[a+a+a\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty a=\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,a\neq 0\]

Szereg (nieskończona suma) jedynek jest rozbieżny (\(a_n=1\) jest ciągiem stałym, zbieżnym do liczby 1):

\[1+1+1\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty 1=\infty\]

Szereg potęg liczby \(n\) jest rozbieżny dla \(a\ge 0\) (\(a_n=n^a\) jest ciągiem potęgowym, rosnącym i rozbieżnym):

\[1+2^a+3^a\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty n^a=\infty\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,a\ge 0\]

Suma kolejnych liczb naturalnych stanowi szereg rozbieżny (\(a_n=n\) jest ciągiem rosnącym i rozbieżnym):

\[0+1+2+3+4\,+\,...\,=\sum\limits_{n=0}^\infty n=\infty\]

Suma logarytmów kolejnych liczb naturalnych (\(a_n=\ln(n)\) jest ciągiem rosnącym i rozbieżnym):

\[\ln(1)+\ln(2)+\ln(3)\,+\,...\,=\sum\limits_{n=1}^\infty \ln(n)=\infty\]

2.5. Działania na szeregach zbieżnych

Można zadać pytanie, czy odawanie/odejmowanie szeregów i mnożenie szeregu przez liczbę wpływa na zbieżność. Okazuje się, że operacje te "zachowują" zbieżność:

Jeżeli szeregi \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) i \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) są zbieżne oraz \(\lambda\in\mathbb{R}\), to:
suma szeregów jest szeregiem zbieżnym\[\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n+b_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n+\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\]różnica szeregów jest szeregiem zbieżnym\[\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n-b_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n-\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\]iloczyn szeregu przez liczbę jest szeregiem zbieżnym\[\sum\limits_{n=1}^\infty \lambda \cdot a_n=\lambda\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\]

Przykład

Korzystając z tego, że suma szeregów zbieżnych jest szeregiem zbieżnym oraz mnożenie przez liczbę nie wpływa na zbieżność, mamy:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n}{n^4}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}=2\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}<\infty\]

Oznacza to, że nasz szereg jest zbieżny.

3. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych

są to twierdzenia matematyczne, które pomagają w badaniu zbieżności szeregów liczbowych.

3.1. Kryterium porównawcze

jest jednym z najczęściej stosowanych kryteriów zbieżności, jednocześnie jest chyba najbardziej naturalne i intuicyjne.

Idea kryterium porównawczego polega na porównaniu szeregu liczbowego, którego zbieżność chcemy określić, z innym szeregiem liczbowym, którego zbieżność znamy. Oto dokładne sformułowanie kryterium:

Niech \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\)\(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) będą szeregami liczbowymi o wyrazach nieujemnych.
Jeżeli dla \(n>n_0\) (dla prawie wszystkich n)\[0\le a_n\le b_n\]to:
(a) ze zbieżności szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) wynika zbieżność szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\)
(b) z rozbieżności szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) wynika rozbieżność szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\)

Przykład

Korzystając z kryterium porównawczego wykażemy, że szereg:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n!)|}{2^n}\]

jest zbieżny.

Dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), mamy:

\[0\le \frac{|\sin(n!)|}{2^n}\le \frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n\]

ponieważ \(\sin(x)\in[-1,1]\) dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).

Wiemy, że geometryczny szereg liczbowy jest zbieżny:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n<\infty\]

Zatem na mocy kryterium porównawczego nasz szereg jest także zbieżny.

3.2. Kryterium ilorazowe

jest używane w podobnych sytuacjach, jak kryterium porównawcze, tzn. gdy potrafimy określić jakiś szereg zbieżny, dla którego \(0<\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}<\infty\).

Oto dokładne sformułowanie kryterium ilorazowego:

Niech \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\)\(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) będą szeregami liczbowymi o wyrazach nieujemnych.
(1) Jeżeli \(0<\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}<\infty,\) to:
(a) ze zbieżności jednego szeregu wynika zbieżność drugiego szeregu
(b) z rozbieżności jednego szeregu wynika rozbieżność drugiego szeregu

(2) Jeżeli \(\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=0,\) to:
ze zbieżności jednego szeregu wynika zbieżność drugiego szeregu

(3) Jeżeli \(\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty,\) to:
z rozbieżności jednego szeregu wynika rozbieżność drugiego szeregu

Przykład

Korzystając z kryterium ilorazowego wykażemy, że szereg:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n+1}{n^4+n+2}\]

jest zbieżny.

Przyjmijmy w kryterium ilorazowym

\[a_n=\frac{3n+1}{n^4+n+2},\,\,\,b_n=\frac{1}{n^3}\]

Mamy:

\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\frac{3n+1}{n^4+n+2}}{\frac{1}{n^3}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{3n^4+n^3}{n^4+n+2}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^4\left(3+\frac{1}{n}\right)}{n^4\left(1+\frac{1}{n^3}+\frac{2}{n^4}\right)}=3\]

Wynik granicy który otrzymaliśmy spełnia nierówność \(0<3<\infty\), ponadto szereg liczbowy:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty b_n=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}<\infty\]

jest zbieżny jako szereg postaci:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}<\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,p>1\]

Zatem na mocy kryterium ilorazowego nasz szereg jest również zbieżny.

3.3. Kryterium Cauchy'ego

Idea tego kryterium polega na obliczeniu granicy z pierwiastka n-tego stopnia z ciągu \(a_n\) i porównaniu wyniku z jedynką. Kryterium to najczęściej wykorzystuje się w przypadku szeregów, w których występuje n-ta potęga.

Oto dokładne sformułowanie kryterium Cauchy'ego:

Szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest:
(a) zbieżny, gdy \[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}<1\](b) rozbieżny, gdy \[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}>1\]

UWAGA: Gdy \(\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=1\), to kryterium Cauchyego nie rozstrzyga o zbieżności szeregu. Trzeba wtedy zastosować inne metody.

Przykład

Korzystając z kryterium Cauchyego wykażemy, że szereg:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\]

jest zbieżny. Mamy:

\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{n}{2^n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{2^n}}=\frac{\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}}{2}=\frac{1}{2}<1\]

Zatem na mocy kryterium Cauchyego nasz szereg jest zbieżny.

3.4. Kryterium d'Alemberta

Idea tego kryterium polega na obliczeniu granicy z modułu ilorazu \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) i porównaniu wyniku z liczbą 1. Kryterium d'Alemberta stosuje się najczęściej w przypadku szeregów, w których występuje \(n!\).

Oto dokładne sformułowanie kryterium d'Alemberta:

Szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest:
(a) zbieżny, gdy \[\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1\](b) rozbieżny, gdy\[\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1\]

UWAGA: Gdy \(\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1\), to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności szeregu. Trzeba wtedy zastosować inne sposoby sprawdzania zbieżności.

Przykład

Korzystając z kryterium d'Alemberta wykażemy, że szereg:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}\]

jest zbieżny. Mamy:

\[\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}}{\frac{n!}{n^n}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}\frac{n^n}{n!}=\]

\[=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}<1\]

Zatem na mocy kryterium d'Alemberta nasz szereg jest zbieżny.

3.5. Kryterium całkowe

Idea tego kryterium polega na określeniu zbieżności całki niewłaściwej, która związana jest z szeregiem liczbowym.

Oto dokładne sformułowanie kryterium całkowego:

Szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\), gdzie \(a_n=f(n)\) i \(f(x)\) jest funkcją malejącą
jest zbieżny (rozbieżny), gdy zbieżna (rozbieżna) jest całka niewłaściwa\[\int\limits_a^\infty f(x)\,dx\]

UWAGA: Dolną granicę całkowania \(a\) wybieramy tak, żeby funkcja \(f(x)\) w przedziale \((a,+\infty)\) była określona (dziedzina funkcji zawiera ten przedział) i nie miała punktów nieciągłości.

Przykład

Korzystając z kryterium całkowego wykażemy, że szereg:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\]

jest rozbieżny.
Mamy \(a_n=f(n)=\frac{1}{n}\) i funkcja \(f(x)=\frac{1}{x}\) jest malejąca i ciągła w przedziale \((1,+\infty)\), co więcej:

\[\int\limits_1^\infty \frac{1}{x}\,dx=\lim\limits_{T\to \infty}\int\limits_{1}^T \frac{1}{x}\,dx=\lim\limits_{T\to \infty}\left(\ln T-\ln 1\right)=+\infty\]

Całka niewłaściwa jest rozbieżna, a zatem na mocy kryterium całkowego nasz szereg jest rozbieżny.

3.6. Kryterium Leibniza

jest kryterium, które możemy stosować do określania zbieżności szeregów naprzemiennych.

Oto dokładne sformułowanie kryterium Leibniza:

Jeżeli ciąg liczbowy \(a_n\) spełnia dwa warunki:
(a) \(\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0\)
(b) ciąg \(a_n\) jest nierosnący
to szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny.

Przykład

Korzystając z kryterium Leibniza wykażemy, że szereg:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\]

jest zbieżny.

Zauważmy, że ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest malejący oraz

\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0\]

Zatem na mocy kryterium Leibniza nasz szereg jest zbieżny.

3.7. Kryterium Abela

jest kryterium, które możemy stosować do określania zbieżności szeregów, których wyrazy są równe iloczynowi ciągu zbieżnego oraz monotonicznego i ograniczonego.

Oto dokładne sformułowanie kryterium Abela:

Jeżeli szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny,
oraz ciąg liczbowy \(b_n\) jest monotoniczny i ograniczony,
to szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n b_n\) jest zbieżny.

4.  Jak sprawdzić zbieżność szeregu liczbowego w wolframalpha.com?

Na stronie wolframalpha.com możesz łatwo i szybko sprawdzić, czy szereg liczbowy jest zbieżny. Wystarczy wpisać komendę:

"sum" wzór na wyrazy szeregu, zakres sumowania (np. n=1 to infinity oznacza, że sumujemy od 1 do nieskończoności \(+\infty\))

Oto przykład jak sprawdzić zbieżność i obliczyć sumę szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\), wystarczy wpisać w kalkulatorze wolframa:

sum 1/n^2, n=1 to infinity

suma szeregu 1/n^2 w wolframalpha

Inne przykłady:

Sumę szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{sin(n)}{n!}\) obliczymy wpisując:

sum sin(n)/n!, n=1 to infinity

Sumę szeregu \(\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n\) obliczymy wpisując:

sum (1/2)^n, n=0 to infinity

Zbieżność oraz sumę szeregu możesz sprawdzić również w kalkulatorze szeregów liczbowych mojego autorstwa.

5. Sprawdź swoją wiedzę o szeregach liczbowych - zadania kontrolne

1. Dla jakich wartości \(q\) szereg liczbowy jest zbieżny:

\[\sum\limits_{n=0}^\infty q^n\]

Szereg geometryczny jest zbieżny dla \(|q|<1\).

Dla przykładu zbieżne są szeregi:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n<\infty\]

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n<\infty\]

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n<\infty\]

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n<\infty\]

Natomiast przykładami szeregów rozbieżnych są:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty 1=\sum\limits_{n=1}^\infty 1^n=+\infty\]

\[\sum\limits_{n=1}^\infty 2^n=+\infty\]

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(-\frac{3}{2}\right)^n=+\infty\]

2. Dla jakich wartości \(p\) szereg liczbowy jest zbieżny:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\]

Szereg jest zbieżny dla \(p>1\).

Dla przykładu zbieżne są szeregi:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\frac{3}{2}}<\infty\]

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty\]

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}<\infty\]

Natomiast przykładami szeregów rozbieżnych są:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=+\infty\]

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}=+\infty\]

\[\sum\limits_{n=1}^\infty n=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{-1}}=+\infty\]

Zrób kolejny krok i ucz się szeregów liczbowych na przykładach

 

Zapisz

Komentarzy (0)