W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Pochodna funkcji - podstawowe wzory i własności

1. Pojęcie różniczkowania i funkcji różniczkowalnej

Pochodną funkcji f(x) zapisuje się symbolem

\[f'(x)\,\,\,\,lub\,\,\,\,\frac{d}{dx}f(x)\,\,\,\,lub\,\,\,\,\frac{df(x)}{dx}\]

Przykłady

\[(x^2)',\,\,\,(\sin x)',\,\,\,\bigg(\ln \left(\frac{x^2}{x^3+1}\right)\bigg)'\]

\[\frac{d}{dx}x^2\,\,\,\frac{d}{dx}\sin x,\,\,\,\frac{d}{dx}\ln \left(\frac{x^2}{x^3+1}\right)\]

UWAGA: Obliczanie pochodnej funkcji nazywane jest również różniczkowaniem funkcji, a funkcja mająca pochodną to funkcja różniczkowalna.

2. Jak liczyć pochodne - jak różniczkować funkcje?

Pochodną funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) liczymy ze wzoru:

\[f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

lub równoważnie:

\[f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

UWAGA 1: Powyższe wzory są bardzo ważne, ponieważ stanowią definicję pochodnej funkcji w punkcie, warto więc je zapamiętać.

Przykład

pochodna w punkcie funkcji y=x

Zauważ, że pochodna funkcji \(f(x)=x\) jest równa 1 dla każdego punktu \(x_0\) należącego do dziedziny funkcji, czyli do zbioru liczb rzeczywistych, np. \(f'(1)=f'(-5)=1\). Dalatego możemy napisać ogólny wzór na pochodną tej funkcji, tj. \((x)'=1\).

Więcej przykładów obliczania pochodnej z definicji

3. Jak sprawdzić czy funkcja jest różniczkowalna?

Istnienie pochodnej sprawdzamy licząc granicę występującą w definicji pochodnej funkcji w punkcie - sprawdzamy czy istnieje i jest właściwa (skończona). Aby sprawdzić, czy granica istnieje, możemy obliczyć i porównać granice jednostronne (tzw. pochodne jednostronne - lewostronna i prawostronna):

\[f'_{-}(x_0)=\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},\,\,\,f'_+(x_0)=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

Jeżeli pochodne jednostronne są sobie równe, to

\[f'(x_0)=f'_-(x_0)=f'_+(x_0)\]

Oczywiście istnieją funkcje, które nie mają pochodnej, np.

  • funkcja \(f(x)=|x|\) nie ma pochodnej w punkcie \(x_0=0\), ponieważ pochodne jednostronne są różne
  • funkcja \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x,&\,\,x>1\\x^2+1,&\,\,x\le 1\end{array}\right.\), nie jest różniczkowalna w punkcie \(x_0=1\), ponieważ nie jest w tym punkcie ciągła
  • funkcja Weierstrassa jest ciągła, ale nigdzienieróżniczkowalna (czyli nie ma pochodnej w żadnym punkcie swojej dziedziny)

ZASADA 1: Funkcja jest różniczkowalna (ma pochodną) w punkcie \(x_0\) jeżeli istnieje granica właściwa (skończona), która pojawia się w definicji pochodnej. Pochodną funkcji możesz obliczyć z definicji (granica) oraz za pomocą wzorów na pochodne.

4. Wzory na pochodne funkcji elementarnych

Pochodne funkcji można obliczać również stosując łatwiejszy sposób, który polega na wykorzystywaniu poniższych wzorów oraz reguł różniczkowania. Wszystkie wzory można wyprowadzić stosując definicję pochodnej funkcji w punkcie:

4.1. Pochodne funkcji potęgowych

\[(0)'=0\]

\[(1)'=0\]

\[(c)'=0,\,\,c\in\mathbb{R}\]

\[(x)'=1\]

\[(x^2)'=2x\]

\[(\sqrt{x})'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},\,\,x>0\]

\[(x^n)'=n x^{n-1}\]

UWAGA: Sześć pierwszych wzorów wynika z ostatniego ogólnego wzoru na pochodną funkcji potęgowej (zastanów się jak?) i ten ostatni wzór wystarczy zapamiętać.


4.2. Pochodne funkcji logarytmicznych

\[(\ln x)'=\frac{1}{x},\,\,x>0\]

\[(\ln|x|)'=\frac{1}{x},\,\,x\neq 0\]

\[(\log_a x)'=\frac{1}{x \ln a},\,\,a>0,\,a\neq 1,\,x>0\]


4.3. Pochodne funkcji wykładniczych

\[(a^x)'=a^x \ln a,\,\,a>0\]

\[(e^x)'=e^x\]


4.4. Pochodne funkcji trygonometrycznych

\[(\sin x)'=\cos x\]

\[(\cos x)'=-\sin x\]

\[(tg\, x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\]

\[(ctg\, x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}\]


4.5. Pochodne funkcji cyklometrycznych

\[(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\,\,|x|<1\]

\[(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\,\,|x|<1\]

\[(arctg\, x)'=\frac{1}{1+x^2}\]

\[(arcctg\, x)'=-\frac{1}{1+x^2}\]

Postaraj się nauczyć na pamięć podstawowych wzorów na pochodne funkcji, pomoże Ci w tym poniższa prezentacja

5. Reguły liczenia pochodnych (reguły różniczkowania)

Załóżmy, że funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne. Wtedy prawdziwe są następujące wzory.

Pochodna iloczynu liczby przez funkcję jest równa iloczynowi liczby przez pochodną funkcji

\[\big(a\cdot f(x)\big)'=a\cdot f'(x)\]

Pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych tych funkcji

\[\big(f(x)+g(x)\big)'=f'(x)+g'(x)\]

Pochodna różnicy funkcji jest różnicą pochodnych tych funkcji

\[\big(f(x)-g(x)\big)'=f'(x)-g'(x)\]

Pochodna iloczynu funkcji nie jest iloczynem pochodnych

\[\big(f(x)\cdot g(x)\big)'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\]

Pochodna ilorazu funkcji nie jest ilorazem pochodnych

\[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\]

Pochodna funkcji złożonej

\[\left(f\big(g(x)\big)\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)\]

Przykład 1

Wykorzystamy regułę liczenia pochodnej sumy funkcji oraz pochodnej iloczynu liczby przez funkcję:

\[\left(2\cos(x)+3x^2\right)'=(2\cos(x))'+(3x^2)'=2\cdot (\cos (x))'+3\cdot (x^2)'=\\ =-2\cdot \sin(x)+3\cdot 2x=-2\sin(x)+6x\]

Przykład 2

Wykorzystamy wzór na pochodną iloczynu funkcji:

\[(x\ln x)'=(x)'\cdot \ln x+x\cdot (\ln x)'=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1\]

Przykład 3

Wykorzystamy wzór na pochodną ilorazu funkcji:

\[\left(tg x\right)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{(\sin(x))'\cos(x)-\sin(x)(\cos(x))'}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}\]

Przykład 4

Wykorzystamy wzór na pochodną funkcji złożonej \(f(g(x))\), gdzie \(f(x)=\sin x\) oraz \(g(x)=x^2\):

\[\left(\sin(x^2)\right)'=\cos(x^2)\cdot (x^2)'=\cos(x^2)\cdot 2x\]

Zobacz więcej przykładów wykorzystania wzorów na pochodne

ZASADA 2: Do liczenia pochodnych musisz stosować reguły różniczkowania. Pamiętaj, że możesz (a najczęściej musisz!) stosować kilka reguł i wzorów w jednym zadaniu. Najłatwiej liczyć pochodne rozbijając je na sumę/różnicę "łatwiejszych" pochodnych oraz wyciągając wszystkie stałe (liczby) przed pochodną.

6. Najczęściej popełniane błędy przy liczeniu pochodnych funkcji

Poniższe wzory nie są prawdziwe i nie możesz ich stosować!

Pochodna iloczynu funkcji nie jest iloczynem pochodnych

\[\big(f(x)\cdot g(x)\big)'\neq f'(x)\cdot g'(x)\]

Pochodna ilorazu funkcji nie jest ilorazem pochodnych

\[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'\neq \frac{f'(x)}{g'(x)}\]

7. Zastosowania pochodnych funkcji

Istnieje niezliczona ilość zastosowań pochodnych funkcji (o wielu z nich możesz poczytać na wikipedii).

Oto zastosowania pochodnych, z którymi na 99% spotkasz się w szkole średniej lub na studiach:

1. liczenie stycznej do wykresu funkcji

2. badanie monotoniczności, wypukłości oraz ekstremów lokalnych funkcji

3. badanie przebiegu zmienności funkcji

4. rozwiązanie problemów optymalizacyjnych (minimalizacja lub maksymalizacja np. odległości).

8. Jak liczyć pochodne w kalkulatorze wolframalpha.com?

Jeśli chcesz sprawdzić wynik pochodnej funkcji, to wystarczy, że wpiszesz w okienku na stronie wolframalpha.com komendę derivative i wzór funkcji, której pochodną chcesz obliczyć, np. derivative ln(x)/x ln(x)

pochodna funkcji w kalkulatorze wolframalpha

Symbole, których można używać w wolframie:

+ - dodawanie

- - odejmowanie

* (lub nic) - mnożenie, np. 2x i 2*x

/ - dzielenie, np. x/(x+1) oznacza \(\frac{x}{x+1}\)

^ - potęgowanie, np. x^2 oznacza \(x^2\)

Przykłady zapisu funkcji w wolframie:

\(\frac{x^3}{\sqrt{x}+1}\rightarrow\) x^3/(x^(1/2)+1)

\(\cos^3(2x^6)\rightarrow\) cos^3(2x^6)

W liczeniu pochodnych pomoże Ci również mój kalkulator pochodnych funkcji, który oprócz samego wyniku pokazuje też wskazówki (wzory na pochodne, których trzeba użyć).

9. Podsumowanie - 3 wskazówki ułatwiające liczenie pochodnych

  1. Do liczenia pochodnych funkcji niezbędne są wzory (np. na pochodną funkcji potęgowej) oraz reguły różniczkowania (np. wzory na pochodną iloczynu i ilorazu funkcji), których musisz nauczyć się na pamięć.
  2. Pochodną sumy/różnicy funkcji możesz rozbić na sumą/różnicę pochodnych, a liczby możesz wyciągać przed pochodną.
  3. W większości zadań z pochodną niezbędne są wzory na pochodną iloczynu, ilorazu oraz wzór na pochodną funkcji złożonej.

10. Sprawdź swoją wiedzę o pochodnych - zadania kontrolne

1.Podaj wzór na pochodną funkcji \(f(x)=x^n\). Jak będzie wyglądał wzór dla \(n=1\) oraz \(n=\frac{1}{2}\)?

Ogólny wzór wygląda następująco:

\[(x^n)'=nx^{n-1}\]

Dla \(n=1\) mamy:

\[(x)'=x^{0}=1\]

Dla \(n=\frac{1}{2}\) mamy:

\[(x^{\frac{1}{2}})'=(\sqrt{x})'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]

2. Podaj przykład funkcji, która NIE jest różniczkowalna

Np. funkcja \(f(x)=|x|\) nie jest różniczkowalna w punkcie \(x_0=0\). Obliczmy pochodne jednostronne (licząc granice jednostronne w definicji pochodnej):

\[f'_{-}(x_0)=\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1\]

\[f'_{+}(x_0)=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{|h|}{h}=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=1\]

Pochodne jednostronne nie są sobie równe, więc pochodna funkcji w punkcie \(x_0=0\) nie istnieje.

3. Czy następujące wzory na pochodne iloczynu i ilorazu funkcji są prawdziwe?

\[\big(f(x)\cdot g(x)\big)'=f'(x)\cdot g'(x)\]

\[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Oczywiście, że NIE, reguły różniczkowania pozwalają stosować następujące wzory (zobacz reguły różniczkowania):

\[\big(f(x)\cdot g(x)\big)'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\]

\[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\]

Zrób kolejny krok i ucz się pochodnych na przykładach

Zapisz

Zapisz

Zapisz

Zapisz

Zapisz

Komentarzy (4)

  • Sebastian
    @frosty Rzeczywiście, dziękuję bardzo :-)
  • frosty
    W pochodnych z funkcji cyklometrycznych jest literówka, zamiast arcctg jest drugi raz arctg! :)
    ale poza tym bardzo przydatny post, dzięki!
  • Sebastian
    @x Tak, rzeczywiście brakowało symbolu pierwiastka, dziękuję za czujność.
  • x
    W 4.1 we wzorze na pierwiastek z x jest chyba błąd